□杨 柳

(陕西国际商贸学院 陕西 咸阳 712046)

压缩映像原理在数列极限中的应用

□杨 柳

(陕西国际商贸学院 陕西 咸阳 712046)

波兰数学家巴拿赫于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理，这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程近似解、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论，另外，在递推形式的数列极限问题中也有广泛的应用。

不动点定理；数列极限；应用

巴拿赫不动点原理——压缩映像原理，是建立在完备的距离空间上到自身的压缩映射，存在唯一的不动点。数学分析中很多定理都是建立在压缩映像原理的基础上。压缩映像原理实质上是算子方程Tx=x的求解问题，是关于具体问题解的存在唯一性定理，它提供了线性方程解的最佳逼近，给出了解的构造方式，在数学的众多领域都有着重要的地位和作用。

对一个方程而言，只要我们找到相应的一个迭代公式，就能够解出这个方程，当然还会考虑到这个迭代公式的收敛性、收敛速度、解的稳定性等问题。在迭代的过程中需要迭代序列是收敛序列。例如在数值计算中，求解多元方程组，可以构造Jacobi迭代的序列，Gauss-Seide迭代序列等，不同的迭代序列的收敛速度不同，一旦收敛，即可求得在一定误差范围内的近似解[1]。

求解方程f(x)的根，可令g(x)=f(x)-x，即把方程问题转化为求g(x)的不动点问题。

数学分析中隐函数定理，微分方程中Picard定理(微分方程解的存在唯一性定理)都是压缩映像原理的具体形式，均是构造出一个映像，证明此映像是收敛的。……