朱江红

(沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001)

等比累进还款法与等额累进还款法的数学模型

朱江红

(沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001)

利用金融数学中的年金理论建立了等比累进还款法和等额累进还款法的数学模型，根据数学模型编制了这两种还款方法的excel计算器，并分析了这两种还款方式的优缺点.这有助于借款人做出最佳的还款决策.

年金；还款法；数学模型

在生活中贷款消费方式逐渐被老百姓所接受.在我国常见贷款还款方式有一次性还本付息法、等额本息还款法、等额本金还款法，在文章[1]中给出了它们的数学模型并对其进行了分析比较.除了上述常见的三种还款方式之外，国际上通用的还有等比累进还款法、等额累进还款法，这两种还款方式虽然在我国较少被银行所采用，但是在个人贷款业务开展兴旺的国家却是十分通行的两种消费信贷还款方式.本文利用金融数学中的年金理论建立了等比累进还款法和等额累进还款法的数学模型，并分析了这两种还款方式所适合的人群.

1 相关预备知识

1.1 总量函数

在一般的金融活动中常见的模式是：某一方先投资一定量的货币于某种业务，这先投资的一定量的货币称之为本金或原始投资，记为A(0).原始投资A(0)经过一段时间t的运作后会达到一个新的价值A(t).这是关于时间t的函数，称之为总量函数.

1.2 实际利率

实际利率是指单位本金在单位时间(可以是一年，半年，一个季度，一个月，一天等)内所赚取的利息，用符号i表示.

某项投资期的第t个计息期的实际利率为：

1.3 名义利率

1.4 年金

年金是相等时间间隔的一列的收付款项.时间间隔可以是一年、半年、一个季度、一个月等等[2](P40).年金按不同的标准可以进行不同的分类，如年金按在每个给付周期的期初给付还是期末给付分为期初付年金和期末付年金.

1.5 现值与终值

由于货币是有时间价值的，所以相同数额的货币在不同的时刻具有不同的价值.为了实现货币在不同时刻的可比性，引入现值与终值的概念.

现值是未来某一时刻的一定数量货币值在现在时刻的价值.终值是现在时刻的一定数量货币值在未来某一时刻的价值.

1.6 期末付、n年定期单位年金

期末付、n年定期单位年金就是每年末付1元，共付n年，若每年实际利率为i,用a⎤n，s⎤n分别表示该年金的现值与终值,该年金的时间流程图如图1所示.

图1 年金的时间流程图

该年金的现值为：a⎤n=v+v2+v3+…+vn-1+vn.

该年金的终值为：s⎤n=(1+i)n-1+(1+i)n-2+…+(1+i)+1.

利用等比数列的前n项和公式得期末付、n年定期单位年金的现值与终值公式分别为

年金的时间单位也可以为月、季度等等，例如一般每月还贷款就可以看成期末付、定期年金.

2 等比累进还款法与等额累进还款法

2.1 等比累进还款法

2.1.1 等比累进还款法定义

等比累进还款法就是将整个还款期按一定的时间段划分，每个时间段比上一时间段多(少)还约定的固定比例，但每个时间段内每月须以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式.

2.1.2 等比累进还款法数学模型

第二段借款人每个月的还款可以看成延期K个月的K个月期的期末付年金，每个月的还款额为P2=P1q，此年金在贷款时刻的现值为：P1qvKa⎤K.

第三段借款人每个月的还款可以看成延期2K个月的K个月期的期末付年金，此年金在贷款时刻的现值为：P1q2v2Ka⎤K.

……

第L段借款人每个月的还款可以看成延期(L-1)K个月的K个月期的期末付年金，此年金在贷款时刻的现值为：P1qL-1v(L-1)Ka⎤K.

根据平衡原理得：这L个年金在贷款时刻的现值之和为A(0).

P1a⎤K+P1qvKa⎤K+P1q2v2Ka⎤K+…+P1qL-1v(L-1)Ka⎤K=A(0)

(1)

Pi=P1qi-1,(i=1,2,…,L).

(2)

根据公式(1)与(2)，可以利用Excel计算每个时间段内每个月的还款额.

例1 一购房者向银行贷款20万元，贷款期10年，贷款年利率为i(12)=4.9%，他选择“等比累进还款法”，2年为一个周期，每一个周期的月付款比上一个周期月付款上浮50%，求每个周期内月还款额以及总的还款额为多少元？

据公式(1)和(2)得五个周期内每月的还款额分别为：

P1=863.51，P2=1295.26，P3=1942.90，P4=2914.35，P5=4371.52.

总还款额为：273300.89元，如表1所示.

表1 excel等比累进还款法计算

2.2 等额累进还款法

2.2.1 等额累进还款法定义

等额累进还款法也称等额递增(减)还款法，其与“等比累进还款法”类似，就是将整个还款期按一定的时间段划分，每个时间段每个月比上一时间段每个月多(少)还约定的固定额度，同样在每个时间段内每月须以相同的偿还额归还贷款本息的一种还款方式.

2.2.2 等额累进还款法数学模型

第二段借款人每个月的还款可以看成延期K个月的K个月期的期末付年金，每个月的还款额为P2=P1+d，此年金在贷款时刻的现值为：(P1+d)vKa⎤K.

第三段借款人每个月的还款可以看成延期2K个月的K个月期的期末付年金，每个月的还款额为P3=P1+2d，此年金在贷款时刻的现值为：(P1+2d)v2Ka⎤K.

……

第L段借款人每个月的还款可以看成延期(L-1)K个月的K个月期的期末付年金，每个月的还款额为PL=P1+(L-1)d，此年金在贷款时刻的现值为：[P1+(L-1)d]v(L-1)Ka⎤K.

根据平衡原理，这L个年金在贷款时刻的现值之和为A(0).

P1a⎤K+(P1+d)vKa⎤K+(P1+2d)v2Ka⎤K+…+[P1+(L-1)d]v(L-1)Ka⎤K=A(0)

P1a⎤K[1+vK+v2K+…+v(L-1)K]+da⎤K[vK+2v2K+…+(L-1)v(L-1)K]=A(0)

P1(1-vLK)(1-vK)+d[vK-LvLK+(L-1)v(L+1)K]=A(0)i(1-vK)

(3)

Pi=P1+(i-1)d>0,(i=1,2，…，L)

(4)

根据公式(3)与(4)可以利用Excel计算每个时间段内每个月的还款额.

例2 一购房者向银行贷款20万元，贷款期10年，贷款年利率为i(12)=4.9%，他选择“等额累进还款法”，2年为一个周期，每一个周期的月付款比上一个周期月付款多100元，求每个周期内月还款额以及总的还款额为多少元？

据公式(3)(4)得：

P1=1931.03，P2=2031.03，P3=2131.03，P4=2201.03，P5=2331.03.

总还款额为255723.29元,如表2所示.

表2 excel等额累进还款法计算

3 总结

等比累进还款法与等额累进还款法由于目前在我们国家贷款业务中不太常用，这两种还款方法主要适用于未来收入预期有较大变动(或逐渐增多，或逐渐减少)的人群，例如新婚夫妇和开始创业的年轻人预计未来收入有较大提高，可以采用q>1的等比累进还款法或d>0的等额累进还款法；再例如年长的人们若预计未来收入有所减少，则可以采用q<1的等比累进还款法或d<0的等额累进还款法.可以根据个人情况来设定q或d的值，还款段数L、q或d的值不同直接影响着每一个周期内月还款额.

[1] 朱江红.关于不同还贷方式的数学模型研究[J].沧州师范学院学报，2016，(1)：20-23.

[2] 熊福生，沈治中.寿险精算基础[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

[责任编辑：刘秀敏]

Mathematical Models of Graduate Payment Mortgage and Constant Progressive Mortgage

ZHU Jiang-hong

(College of Mathematics and Statistics, Cangzhou Normal University, Cangzhou, Hebei 061001, China)

This paper establishes mathematical models of graduate payment mortgage and constant progressive mortgage based on annuity theory of financial mathematics, works out excel calculators for the two methods of payment according to mathematical models, and clarifies their advantages and disadvantages. It is expected to help the borrower to make the best decision of repayment.

annuity; repayment; mathematical model

2016-12-23

朱江红(1969-)，女，河北保定人，沧州师范学院数学与统计学院副教授，研究方向：金融数学、基础数学.

F832.4

A

2095-2910(2017)02-0006-04