王金花,樊永艳,李志晓

(沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001)

基本初等函数的一致连续性

王金花,樊永艳,李志晓

(沧州师范学院数学与统计学院，河北沧州061001)

基本初等函数：常值函数y=c，幂函数y=xa，对数函数y=logax(0

连续；一致连续；基本初等函数；函数可导

函数的一致连续性是数学分析课程的重要理论，数学分析课程中的很多重要结论的证明都要用到函数的一致连续性.目前很多数学工作者对函数的一致连续性进行研究，并得到重要结论.数学分析的研究对象是函数，初等函数的分析性质是数学分析的重要研究内容，而初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合所得到的函数[1](P14-15)，所以研究基本初等函数的分析性质尤为重要，下面探讨基本初等函数的一致连续性．

1 预备知识

定义1 设函数f(x)在区间I上有定义，若任意ε>0，存在δ=δ(ε)>0，使得对任意的x1,x2∈I，只要|x1-x2|<δ时，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称函数f(x)在区间I上一致连续[1](P79)．

定理1 设f(x)在区间I上可导，且f′(x)有界,则f(x)在I上一致连续[2][3]．

定理2 若f(x)在有限闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续[1](P80)．

所以f(x)在(a,+∞)上不一致连续．

类似可证下面的定理4：

证明从略．

利用函数一致连续的定义，容易推得下面的定理5成立．

定理5 若f(x)在区间I上一致连续，区间I1⊂I，则f(x)在I1上一致连续．

证明从略．

定理7 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数[1](P84)．

定理8 若函数f(x)在区间I1和I2上一致连续，且I1与I2有公共点，则f(x)在I1∪I2上一致连续[1](P80)．

2 主要结论

下面讨论基本初等函数的一致连续性．

2.1 常值函数y=c

由于y′=0在(-∞,+∞)上有界，由定理1知道，常值函数y=……