吴淑群

[摘 要] 数学复习教学是有针对性、有目的性的，要寻根溯源. 那种用重复训练替代有效复习的方式既低效又耗时，成为近年来复习教学的反面典型. 本文以复习教学典型案例和背后的思考入手，开拓教师复习教学新思路.

[关键词] 数学；复习教学；高三；题根；题海

众所周知，数学复习教学不是无目的的重复做题，也不是仅仅依赖大量训练达到目的的.但是上述方式却依旧在很长一段时间内获得了教师教学的首肯，原因何在？从华东师大心理学教授孟慧对于教师教学方式的调查研究来看，发现了三个根本的因素：

第一，惯性的作用.孟教授将其归结为教师的教学经验过度，造成了经验性的惯性. 考虑到新一轮课程改革实施不过数十年，而现在的教师却完全在应试教学模式下成长起来，其对于数学成绩的提高的认知基本停留在一种当年自己学习的模式中，即大量训练、提高熟练度. 这种学习惯性加上教学惯性，教师发现这种教学方式对于成绩的提升效果显著，因此在于复习教学的研究上自然不需要下功夫，简单粗暴是最有效的、最简单的方式.

第二，课程改革和高考应试的不调和. 这个矛盾已经有很多资料进行了反馈和调查，但是一直解决不了. 课程改革致力于强调学生自主学习，但是高考应试依旧是传统考查方式，这种不可调和的矛盾让愈来愈多的教师无视复习教学的建构性，无视复习教学的高效性，从而导致效率愈来愈低下.

第三，不懂何为复习教学. 这是很多教师复习教学做了很多年，却又感觉复习教学很累的重要原因. 从北师大一份中学数学课程复习教学调查报告显示，认为复习教学是概念复习+例题演练+熟练操作的教师占到百分之八十五以上，在询问教师复习教学有没有其他建议时，几乎没有教师写得出有建设性的建议，这说明我们的教师都只是知识的搬运工，而没有在教学背后有针对性的思考，这成为复习教学止步不前的重要因素.

复习教学中概念寻根溯源

高三复习教学势必有对概念的复习，但是以往对概念复习更多是依赖回顾、操作、巩固，不知道大家是否发现这种复习方式既没有巩固好概念，也没有站在高三的角度为概念复习进行深挖掘. 因为教辅资料的编写者大都不是一线骨干教师，其无非是将试题东拼西凑，更谈不上对概念有深度的思考、挖掘，在此基础上的概念复习只能是浅显的回顾，根本谈不上达到高三的能力要求.

案例1（某教辅资料）：（1）双曲线实轴长为2a，MN为过左焦点F1的一条弦，且MN=d，F2为右焦点，则△MNF2的周长为________；（2）P是双曲线x2- =1上一点，焦点F（2，0），点A（3，2），使PA+ PF最小值时，则点P的坐标是________.

分析：试题（1）属于圆锥曲线基本概念复习简单问题，与新知教学难度相当，仅仅起到了复习圆锥曲线基本定义，大家知道这样的问题是复习概念的主要问题；试题（2）在感官定义的基础上加深了本质定义的思考，让学生对统一定义有了复习. 从这样的复习来看，教师大都比较认同复习试题的层次性.

寻根溯源：其实不然，很多教师对椭圆、双曲线为何称之为圆锥曲线并不了解. 因此复习教學不能有更深入的设计，仅仅以不断重复训练感官定义是达不到学生能力的提高的目的. 让我们首先翻开教材，来看一看这些考题真正的“根源”！古希腊数学家早早就认识到了，用平面截圆锥可以得到截口曲线，如图1所示. 正是因为如此，所以圆锥曲线才需要寻根溯源. 建议复习教学设计如下：问题（1）、（2）保持为上述原题，在掌握基本感官定义的基础上，增加真正考查圆锥曲线本质的问题（3）：如图2，AB是平面α外固定的斜线段，B为斜足.若点C在平面α内运动，且∠CAB等于直线AB与平面α所成的角，则动点C的轨迹为__________.（简析：抽去平面α，可知点C在空间的轨迹为以AB为轴的圆锥表面上的点，现考虑到平面与直线AB所成角等于∠CAB，即两线平行，所以线线平行可推得线面平行，所以截口曲线为抛物线.）

训练巩固：二面角α-l-β大小为120°，AB垂直平面β交l于B，动点C满足AC与AB成40°角，则点C在平面α和平面β上的轨迹分别是_________. （答案：双曲线和圆）

说明：圆锥曲线概念复习是如何设计的？是不是跟参考书一样，列举如上问题？有经验的教师都知道，这种考查基本概念的简单问题做得再多也毫无用处，还是难以认识到圆锥曲线概念的本质. 因此笔者深度思考，在概念复习的教学中寻根溯源，通过反应概念本质的试题重组，加深了概念教学的有效性，通过专题设计，我们也认识到复习教学需要针对性，有的放矢既降低了复习的无效性，也大大减少了不必要的重复训练.

试题设计中的寻根溯源

如果说概念教学还可以追求本源，那么高三复习教学中解题能否寻根溯源呢？即我们常常讲的：试题纵有千变，但是必有最根本的题根. 低层次的解题复习教学是不断解题、进行大量巩固性训练；中层次的复习教学仰仗的是变式模式，这是中学数学教学的优良传统，在一定程度上取得了不俗的功效；高端的解题复习教学需要寻根溯源，我们知道很多高考问题一而再、再而三的考查，尽管试题面貌不一，但是背景却是一致的，这种一致性若能在复习教学中给以足够的引导和呈现，势必找到复习教学最深入人心的部分，学生对知识的理解和思考也将脱离试题的外表而直达本质.

案例2：在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则 · =____________.

分析：本题常规解答中，可以利用向量的基本分解入手，寻求突破，比较简单.但是教师这样教学，往往没有让学生了解到问题的本质.为了挖掘问题的本质，笔者将问题进一步设计，以便突出试题设计中的本质.

变式1：P是棱长为2的正方体上一动点，AB是正方体内切球的任意一条直径，则 · 的取值范围是___________.

分析：本题可以从两个角度思考，其一是向量坐标运算，但是比较复杂；其二是向量基底分解，同样稍显烦琐. 此处教师开始渗透本题设计的根——向量恒等式.本质解法：取AB中点O，连接PO，构造成导入问题的图形. 因为 · = 2- 2= 2-1，又？摇1≤ ≤ ，所以 · ∈[0，2].

寻根溯源：向量中的数量积问题可以从三个方向思考：其一是坐标运算，思维量少，但是运算过程非常烦琐；其二是自由向量的分解，但是这种分解是学生比较惧怕的；其三是向量数量积相关的恒等式，这体现了高等数学在中学数学中的落地，是向量数量积问题的本质所在. 回顾案例2，我们可以从这一性质下手： · = [（ + ）2-（ - ）2]= [（2 ）2-（ ）2]= （36-100）=-16.

总结：a·b= [（a+b）2-（a-b）]（向量数量积恒等式）. 这是挖掘教材《普通高中课程标准实验教科书》苏教版数学《必修4》第2.5节《平面几何中的向量法》例题1 = + ， = - ，从中发现的数量积相关恒等关系式.

变式2：已知点A，B在双曲线 - =1上，且线段AB经过原点，点M为圆x2+（y-2）2=1上的动点，则 · 的最大值为____________.

简析：由向量数量积恒等式， · = 2- 2， 达到最大， 达到最小的时候取最大值.

变式3：设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · . 则△ABC形状为___________. （填写：等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形中的一种）

简析：因为 · = 2- 2， · = 2- 2，所以 2≥ 2，所以P0D⊥AB. 取AB中点E，因为P0B= AB，所以BP0=EP0，所以BD=ED，所以AC=BC，故为等腰三角形.

说明：例题的设计要围绕题根进行，好的问题背后往往具备了一定的高等数学背景，在高等数学中a·b= [（a+b）2-（a-b）]简称为极化恒等式，这是教师设计这种课的主要目的.

总之，复习教学不能一味地只求熟练度，而忽视了数学能力的提高和数学素养的攀爬. 对于热点问题不仅仅要能解决、会解决、多途径解决，作为优秀教师更要学会从更深层次的视角去寻找试题背后的本质，即为什么试题常常要这样考查呢？很多试题都是在高等数学背景下编制的，我们耳熟能详的极化恒等式、阿波罗尼斯圆、阿基米德三角形等等，都是寻根最后的数学模型.教学要更关注这些，才能让复习教学来得高效一些.