马志勇

带有强阻尼的非线性热粘弹方程能量的衰减

马志勇

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

研究了一类带有强阻尼的热粘弹方程能量的大时间行为,利用多乘子方法,巧妙建立扰动函数,构建李亚普诺夫泛函,最终得到能量的指数衰减结果。

热粘弹;非线性;衰减

0 引言

热弹性是通过温度变化引起固体弹性模量变化的性质,粗略地说,它既具有某些弹性固体材料的性质,又具有某些黏性流体的性质。热弹方程[1]是热弹性力学方程组的简称,是根据热弹性体的变形和温度的分布规律建立的数学模型。关于材料的弹性、黏性性质的研究历史悠久,近几十年来,新型复合材料、功能材料、生物材料、建筑材料等材料科学的发展,愈来愈深入地涉及到热粘弹性性质。最近Han等[2]研究了带有记忆的粘弹盘方程：

本文利用Messaoudi[4]中的方法,证明了方程解的衰减结果,在此基础上,Cavalcanti等[3]研究了带有阻尼的粘弹方程：

在一系列的假设条件下,笔者证明了方程解的指数衰减,但将粘弹方程推广到热粘弹方程之后,相应的热粘弹方程能量的衰减结果还没有,因此,本文通过多乘子方法证明了热粘弹方程解的衰减。

1 模型介绍和分析

本文研究的热粘弹方程如下：

初值为：

边值为：

式中：u(x,t),θ(x,t)分别代表位移和温度;x,t分别代表空间和时间变量;Ω是Rn中的一个子集; u0(x),u1(x),θ0(x)为给定函数;g为记忆核函数;γ为常数。

假设ρ满足：

核函数g满足：

g:[0,∞)→(0,∞)是有界函数且

存在正定函数ξ(t)使得：

及

式中,l、k是正常数。

经……