罗 艳(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201)

关于求常系数非齐次线性微分方程特解的注记

罗 艳
(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201)

求常系数非齐次线性微分方程特解的关键是正确写出特解的形式。本文给出了求常系数非齐次线性微分方程特解的几个注记：类型Ⅰ的推广、利用复数法和解的叠加原理求特解，并给出实例加以说明。

特解；推广；复数法；解的叠加原理

对于常系数非齐次线性微分方程的求解问题，其中a1,a2,…,an是常数，f(t)为连续函数，一般情况考虑f(t)的两种类型[1].

(1)

类型Ⅰf(t)=P(t)eλt，其中P(t)是带实常数系数的t的多项式，λ是实常数.

1 类型Ⅰ的推广

类型Ⅰ中的多项式P(t)可以是带复常数系数的t的多项式，λ也可以是复常数.

2 复数法求常系数非齐次线性微分方程特解

下面介绍复数法求常系数非齐次线性微分方程特解的理论依据.

定理1 方程

有复值解x=U(t)+iV(t)的充分必要条件是U(t)和V(t)分别是方程

和

的解，这里ai(t)(i=1,2,…,n)及u(t),v(t),U(t),V(t)都是实函数.

证明 直接代入验证即可，在此省略.

注记1 若常系数非齐次线性微分方程是下列形式：

(2)

(3)

其中，α1,β1,α2,β2为常数，而A(t),B(t)是带实系数的t的多项式，则可以考虑应用复数法求(2)和(3)的特解.

第一步，写出(2)和(3)分别对应的方程

(4)

(5)

第二步，(4)和(5)属于类型Ⅰ，利用待定系数法求出(4)和(5)的特解(复值解).

第三步，利用定理1，(4)特解的实部就是(2)的特解，(5)特解的虚部就是(3)的特解.

解 特征方程λ2+4λ+4=0有重根λ1=λ2=-2.

复数法的优点是间接通过类型Ⅰ的特解求(2)和(3)的特解，可避免求cosβt,sinβt和eαt积的各阶导数的运算……