韩凯凯

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

一类依测度收敛而处处不收敛的函数列

韩凯凯

（长治学院 数学系，山西 长治 046011）

文献[1]中构造了一个依测度收敛而处处不收敛的函数列，文章构造了一类依测度收敛而处处不收敛的函数列，且文献[1]中的函数列是该类的一个特例。

依测度收敛；处处不收敛；函数列

1 引言

文献[1]构造了（0，1]上的一个依测度收敛而处处不收敛的函数列。文章考虑了R的有限区间和无限区间两种情况：对于有限区间，构造了一类依测度收敛而处处不收敛的函数列；对于无限区间，构造了一类依测度收敛而非a.e.收敛的函数列。

2 预备知识

定义 设{fn}是E⊂Rq上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上a.e.有限的可测函数（fx）满足下列关系：

3 主要结果

例：一类依测度收敛而处处不收敛的函数列。构造如下：

当E是R中的任一有限区间时，不妨设E=（a，b（]a＜b）。设p是任一给定的素数（p＞0），s，t是两个不相等的实数（不妨设｜t｜＜｜s｜）。将Ep等分，定义p个函数：

注1：当（a，b（]0，1），p=2，s=1，t=0时，即退化为文献[1]中的函数列。

当E是R中任一无限区间时，下面构造一类依测度收敛而非a.e.收敛的函数列。不妨设E=（a，∞）。设p是任一给定的素数（p＞0），s，t是两个不相等的实数（不妨设｜t｜＜｜s｜）。将E分成p+1份：将（a，a+1]p等分与（a+1，∞），定义（a，∞）个函数：

注2：在这里提出一个问题，上面构造了R的无限区间上的一个依测度收敛而非a.e.收敛的函数列。问R的无限区间上是否存在依测度收敛而处处不收敛的函数列？如果存在，如何构造？如果不存在，如何证明？更进一步，问R的任意勒贝格可测集上是否存在这样的函数列？……