黄香娥

摘要：在数学解题过程中学生往往出现“会而不对，会而不全”的情况，究其原因，大多是想当然所致。只有透彻理解数学概念，耐心审题，看清题目要求，充分用上题设包含隐含条件，注意对结果进行必要的检验，才能避免“想当然”。

关键词：想当然；数学概念； 隐含条件； 范围的界定

数学解题时做错了是很常见的，原因也很多.有一类错误却纯属“想当然”所致.往往题目做出来了，满以为绝对正确，却偏偏错了。避免这样的错误，除了做事不能主观、简单化以外，也有不少发人深省的地方。由于有些解法太似是而非，题目又好像比较简单，很仔细的人出错也在所难免。本文结合自己的教学实践和体会，通过聆听、分析学生的错题讲解，对他们在解题过程中出现的“想当然”进行分析，借此激发问题意识，促进他们的认知，强化他们对错误根源的认识，增强他们的认知免疫力。

一、对概念、性质的理解出现偏差导致想当然

中学数学中的有些概念，教材往往以定义的形式直接给出，这些定义或符号看似比较简单，但真正迁移运用起来比较困难.如函数的定义域教材是先给出函数的定义，紧接就抛出函数的定义域：……记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域.根据此定义，学生很快就记住了函数y=f（x）的定义域就是自变量x的取值范围，也就快速且准确的求出形如f（x）=x，f（x）=1x，f（x）=1log2（x2-2x+2）等的定义域，但当我们给出求抽象函数定义域时，就有一部分同学对定义域的理解出现偏差。

案例1 ：设函数f（2x-1）的定义域为[3，9），则f（x+1）的定义域是（ ）。

A.[2，8） B.[3，6） C.[4，16） D[2，4）

学生出现最多的错误解法：2x-1∈[3，9）x∈[2，5）x+1∈[3，6）.，选（B）.为了纠正同学对定义域的理解出现的偏差，可以从学生最近认知发展区出发，通过把题目分解进行讲解，加深他们的理解，同时学会迁移应用。

已知f（x）=x，求①f（x）的定义域；②f（x+1）及f（x+1）的定义域；

③f（x-1）及f（x-1）的定义域。

分析：①f（x）=x，x≥0，

②f（x+1）=x+1，x+1≥0，x≥-1，③f（x-1）=x-1，x-1≥0，x≥1 。

在这儿，f（x+1），f（x），f（x-1）中的x+1，x及x-1是等价的，这样学生就能迁移到①已知f（x）的定义域是[0，+∞），求f（x+1）的定义域，②已知f（x+1）的定义域是[0，+∞），求f（x）的定义域两个问题上，因此对于案例1中的问题就会迎刃而解：把2x-1看成整体x1，x+1看成整体x2，这样在f（x1），f（x），f（x2），x1，x，x2是等价的，但x1中的x，x2中的x各不相同.∴x∈[3，9）2x-1∈[5，17），x+1∈[5，17），∴x∈[4，16） ∴选（C）。

案例2：为了得到y=sin（2x+π4）的图像，只需将y=sin2x的图像（）。

A.左移π4 B.右移π4 C.左移π8 D.右移π8

错解：（A）。学生都能记住在图像的平移变换中遵循左加右减的规律，但没有真正的理解.在学习 函数y=Asin（ωx+Ф）（A>0， ω>0）的图像时，好多教师都是先设置与图像有关系的问题，运用几何画板、多媒体力图向学生演示图像，然后让学生通过观察，从特殊的、个别的属性，归纳得出由函数y=sinx到函数y=sin（ωx+Ф）（ ω>0）的图像的两种不同变换途径：①先平移后伸缩②先伸缩后平移.如果是①则先向左（Ф>0）或向右（Ф<0），再变化ω，如果是②则先变化ω，再平移，平移的值为向左（Ф/ω）或向右（-Ф/ω）.在变换②中，学生对于平移的值Ф/ω或-Ф/ω就是靠从几个特殊的、个别的图像的变化猜测得到的，有点似懂非懂的感觉，时间久了，就想当然的得出上面的错解。为了使同学们更好的理解变换②的情况，我利用同学们初中都很熟知的图形在坐标系中的平移进行讲解：

P（x-t，y）向左平移t个单位P（x，y）向右平移t个单位P（x+t，y）

设p（x0，y0）是函数y=sinωx的图像上任一点，当Ф>0时，设点P向左平移t个单位得到点Q（x，y）即函数y=sin（ωx+Ф）（ ω>0）上的点，则x=x0-ty=y0 x0=x+ty0=y 因为p（x0，y0）在函数y=sinωx的图像上，所以y0=sinωx0即y=sinω（x+t）=sin（ωx+ωt）=sin（ωx+Ф），所以ωt=Ф，t=Ф/ω。这样同学们对于图像平移过程中的左加右减的平移量就有了更深的理解，也就避免了想当然的错解。

二、对范围的对应、界定及处理出现偏差导致想当然.

案例3 ：集合A={y|y=x2-4x+3，x∈Z}，B={y|y=-x2-x+3，x∈Z}，求A∩B。错解：对于A：y=（x-2）2-1，y≥-1；對于B：y=-（x+12）2+314，y≤314，y∈Z，所以y≤3，所以A∩B=-1，0，1，2，3。

分析：过程似乎无懈可击，解也注意整数集了，何以不对呢？问题在于，由x∈Z=>

y∈Z，还必须检验y∈Z=>x∈Z是否成立，可以通过列表解决：y=-10123x1∈Z√√XX√X2∈ZXX√X√所以，A∩B={3}。

案例4 ：已知实数x，y满足4≤x+y≤6①，2≤x-y≤4②，求2 x+y的 取值范围。

这道题是高三（文科班）刚开始复习不等式时布置的限时训练题，当时好多同学都做错了，出现最多的是以下两种错解：

错解1：由①+②得6≤2x≤10 ③ ，由①+②×（-1） 得0≤y≤2 ④，endprint

由③+④得6≤ 2x+y≤12 。

错解2：由①+②得3≤x≤5 ⑤，由①+⑤得7≤ 2x+y≤11。他们的思路很简单，也是他们最易想到的：要求2x+y的范围，只需把x，y的范围求出来，再根据不等式的性质就可求出.殊不知在这些求解过程中已改变了2x+y的范围.在错解1中，同学们把x，y满足4≤x+y≤6 ①，2≤x-y≤4 ②转化为x，y满足3≤x≤5和0≤y≤2，在错解2中，尽管解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的，结果正确只是碰巧而已，同学们把x，y满足4≤x+y≤6①，2≤x-y≤4②转化为x，y满足3≤x≤5和4≤x+y≤6，这么一转化，x，y满足的条件也随着改变，即不等式组4≤x+y≤62≤x-y≤4， 3≤x≤50≤y≤2， 3≤x≤54≤x+y≤6 所表示的平面区域也就不同了，从而就改变了2x+y的范围。这样一分析，同学们知道了这一题的关键是x+y、x-y都是一个整体，不能把他们分开，他们是互相联系、互相制约的，就很自然的与线性规划问题联系起来。

三、忽视题中的隐含条件导致想当然

案例5： （1）ΔABC中，已知cosA=513，sinB=35，则cosC的值为（）

A.1665 B.5665 C.1665或5665 D-1665错解：∵cosA=513，∴sinA1213，∵sinB=35，∴cosB=±45，当cosB=45时，cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…1665，当cosB=-45时，cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…=5665，∴选（C）。分析：这种解法由于忽略了A+B+C=π这一条件，致使计算结果出现错误。正解：∵0cosA=51322，∴sinA=1213，且π4Aπ2，∵0sinB=3522，∴0Bπ4或3π4Bπ，又∵A+B+C=π，∴0Bπ4，∴cosB=45，∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=…=1665，∴选（A）。（2）已知方程x2+4ax+3a+1=0（a为大于的常数）的两根为tanα，tanβ，且α，β∈（-π2，π，2），则tanα+β2的值是---错解：∵tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的两个根，∴tanα+tanβ=-4a，tanαtanβ=3a+1，由tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-（3a+1）=43，可得tanα+β2=±2。错因：忽略隐含条件tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根导致错误。正解：∵a0，∴tanα+tanβ=-4a0，tanα.tanβ=3a+10，∴tanα，tanβ是方程x2+4ax+3a+1=0的两个负根，又α，β∈（-π2，π，2），∴α，β∈（-π2，0）即α+β2∈（-π2，0），由tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1-（3a+1）=43可得tanα+β2=-2。

案例6 ：设椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=32，已知点P（0，32）到这个椭圆上的距离是7，求这个椭圆方程。错解：由已知得a=2b，则d2=x2+（y-32）2=a2（1-y2b2）+y2-3y+94=-3（y+12）2+4b2+3，所以当y=-12时，d2有最大值，从而d也有最大值。所以4b2+3=（7）2，由此得b2=1，a2=4，于是所求椭圆的方程为x24+y2=1。

错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法确是错误的，结果正确只是碰巧而已。由当y=-12时，d2有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到y的取值范围。事实上，由x2a2+y2b2=1得x2=a2（1-y2b2）≥0，則-b≤y≤b或点（x，y）在椭圆上，有-b≤y≤b因此在求d2的最大值时，应分类讨论。正解：若b12，则当y=-b时，d2（从而d）有最大值，于是（7）2=（b+32）2，从而解得b=7-3212，与b12矛盾所以必有b≥12，此时当y=-12时，d2（从而d）有最大值所以4b2+3=（7）2，解得b2=1，a2=4，于是椭圆方程为x24+y2=1。 因此，在解题过程中要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题。

四、对一些数学概念、性质、解题方法、某一类型等过于熟悉而导致的想当然

案例7：（1）单位向量，，满足⊥且（-）（-）≤0，则+-的最大值为（）A.2-1 B.1 C.2 D.2

这是浙江省普通高中学业水平考试导引（2014级适用）综合练习一中的最后一道选择题，导引中答案是（C），这答案是错的，其实正确答案是（B）。检查了班级同学对此题的掌握情况，好多同学不会做，会做的同学大多又做错了（选C）。究其原因是他们对于这类题型目及解题的方法太过熟悉导致想当然.这些同学很好的运用向量加法、减法的几何意义来做：记OA=，OB=，OC=，由（-）（-）≤0知点C在以AB为直径的圆上或园内，而+-表示圆上及圆内点C与D（OD=+）的距离，进一步转化到圆心与D的距离，可惜这些同学一激动忘掉题中的向量c是单位向量这一条件，从而得出错误答案。+-max=d+r=22+22=2， 若同学稍仔细点会发现，因为向量c是单位向量，所以点C的轨迹是单位圆夹在以AB为直径的圆中的一段弧，即单位圆中的弧AB，所以+-max=DA=DB=1。

（2）已知正实数x，y满足xy+2x+y=6，求x+y的最小值

错解：2x+y≥22xy6≥xy+22xy0xy≤2x+y≥2xy≥22

x+y的最小值为22，大多数同学反映，当一看到是求最值问题，最先想到的是基本不等式，而x+y，xy，2x+y又都可以通过不等式联系起来，这样就想当然的运用基本不等式求最值从而出现上述错解。一是没注意到两次运用不等式时等号取到的条件不同，二是在0xy≤2x+y≥2xy≥22中出现推理错误。

（3）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的实轴端点分别为A1，，A2，记双曲线的其中一个焦点为F，一个虚轴端点为B，若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1，2），使得∠A1PiA2=π2，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）。

A.（2，5+12） B（2，6+12） C（1，5+12） D（5+12，+∞）

好多同学很快就想到利用化归、数形结合的思想把问题转化为直线与圆的位置关系来做，但没有注意到若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi这一限制条件从而得出错误答案（C）。

避免“想当然”错解的关键在于：耐心审题，看清题目要求，透彻理解概念，充分用上题设，包含隐含的条件，注意对结果进行必要的检验，这样就可以避免在解题过程中出现的“会而不对，会而不全”的情况。

参考文献：

[1]张颖奇.注重概念教学——对两道概率试题解答的反思.中学数学教学参考，2010（11）

[2]钱军先.例谈稚化思维的教学策略. 中学数学教学参考，2016（1-2）

[3]袁守义.亲切平和 活力四射. 中学数学教学参考，2016（1-2）

（作者单位：浙江省临海市灵江中学 317000 ）endprint