康东升，徐良顺，曹玉平

(1 中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074； 2 中南民族大学 图书馆,武汉 430074)

一类带有负指数的临界椭圆方程组的解

康东升1，徐良顺1，曹玉平2

(1 中南民族大学 数学与统计学学院,武汉 430074； 2 中南民族大学 图书馆,武汉 430074)

研究了一类带有强耦合临界非线性项和负指数项的椭圆方程组.定义了几个重要的约束集，运用复杂的分析技巧研究了能量泛函在约束集的下确界，得到了一个临界常数的精确表达式，最后证明了一定条件下方程组正解的存在性，首次把单个临界椭圆方程的相关结果推广到了带有负指数项的临界椭圆方程组.

椭圆方程组；临界非线性项；负指数项；变分法

1 相关知识

在本文中, 研究如下方程组：

(1)

(H1)η>0,α1,β1>0,i=1,2,α1+β1=2*,α2+β2<2,h(x)∈L∞(Ω).

存在一个常数α满足α≥max{1-a2,1-β2},m>0,M>0, 使得:

由于min{α2,β2}∈(0,1)，所以J∈C(H×H,)．如果(u,v)∈H×H并且u,v>0 a.e．于Ω中，对所有(φ,ψ)∈H×H满足:

0=∫Ω(uφ+vφφ,

(2)

则称(u,v)是方程组(1)的一组解．

用D:=D1,2(N) 表示(N)在范数下的完备化空间.对所有的α,β∈(0,2*)满足α+β=2*，基于Sobolev不等式和Young不等式，可以定义下面这两个最佳常数[1,2]：

(3)

Talenti在文[2]中证明了Sobolev常数S有如下达到函数:

(4)

方程组(1)主要是受到如下椭圆问题的启发:

(5)

其中λ≥0,γ>0,1

设(u,v)∈H×H，定义H×H上的范数‖(u,v)‖2:=∫Ω(|u|2+|v|2)dx．

因为J∉C1(H×H,)，定义如下的约束集：,

其中Γ(u,v)=‖(u,v)‖2-η∫Ω|u|α1|v|β1dx-∫Ωh(x)|u|α2|v|β2dx．

I(u,v):=(2-2*)‖(u,v)‖2+(2*-α2-β2)∫Ωh(x)|u|α2|v|β2dx．

Λ+:={(u,v)∈Λ|I(u,v)>0},Λ0:={(u,v)∈Λ|I(u,v)=0},Λ-:={(u,v)∈Λ|I(u,v)<0}.

本文的主要结论如下.

定理 1 假设条件(H1)成立，并且η<η1. 则方程组(1)至少有一个解.

在接下来的讨论中,先给出两个引理及其证明，之后再证明定理1．当t>0, 用O(εt)来表示满足|O(εt)|/εt≤C的变量，这里C是正常数，用o(εt)表示满足当ε→0时|o(εt)|/εt→0的变量；为方便将省略积分式中的dx．

2 定理1的证明

对所有(u,v)∈Λ，有：

这说明泛函J在Λ中是强制的并且有下界，因此可以考虑下面两个下确界问题：

(6)

通……