徐望斌，陈敬华

(湖北师范大学数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

两个正数的各种均值

徐望斌，陈敬华

(湖北师范大学数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

给出了两个正数的各种均值的一种新的几何模型，并由此构造了两个正数的各种均值不等关系的一种证明．再对均值不等式进行了拓展，说明其应用。

两个正数；均值；几何模型

0 引言

两个正数的各种均值的不等性在数学中占有重要的地位，不等式的证明中经常用到两个正数的算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数之间的关系，也就是均值不等式[1]。本文通过对梯形中位线的性质联想，给出了这四种均值之间的不等关系的一种几何模型，再依照几何模型的性质给出了均值不等式的一种证明．再对均值不等式进行了拓展，说明其应用。

目前，关于两个正数a，b的各种均值主要有：

Lehmer 平均定义不了平方平均．

Mp(a,b)与Lp(a,b)都是p的严格单调增函数，从而得到均值不等式

1 均值不等式的几何模型

如图1：设梯形ABCD的上底AB的长为a，下底CD的长为b，不妨设0

f(θ)=a+θ(b-a),(0≤θ≤1)

易得函数的性质：

1)f(θ)=a+θ(b-a),(0≤θ≤1)是θ的增函数；

2) 当θ1+θ2=1(0≤θ1，θ2≤1)时，f(θ1)+f(θ2)=a+b；

3) 当θ1+θ2>1(0≤θ1，θ2≤1)时，f(θ1)+f(θ2)>a+b．

其次，θ的值以及对应f(θ)值如表1：

图1 几何模型

表1 θ与f(θ)的值

这样就从图形上直接得到了均值不等式，清楚明了．上式在a=b时，所有不等号变成等号．

从上面的推导也容易想到：均值不等式实际上是在两个数a,b(0

由f(θ)=a+θ(b-a),(0≤θ≤1)是θ的增函数，这样就从代数方面得到了均值不等式．

2 均值不等式的拓展及其应用

从上面的分析，易得均值不等式的拓展式：对……