张 骞, 周 蕾, 袁永新

(湖北师范学院数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

求解矩阵方程的一种迭代法

张 骞, 周 蕾, 袁永新

(湖北师范学院数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

考虑一类矩阵方程AXB+CYD+E的解, 其中X是未知的对称矩阵,Y是未知的反对称矩阵. 当矩阵方程是相容时, 建立了共轭梯度法去求解矩阵方程, 并且证明通过有限次的迭代可以得到矩阵方程的解. 同时通过选择一些特殊的初始矩阵, 可以得到它的最小范数解.

矩阵方程; 共轭梯度法; 对称解; 反对称解

0 引言

设矩阵A,C∈Rm×n,B,D∈Rn×p,E∈Rm×p是已知的, 找到矩阵X∈SRn×n,Y∈SSRn×n满足下面矩阵方程

(1)

1 主要结果

下面我们将给出求解方程(1)的一种迭代算法.

算法Ⅰ.

1) 输入矩阵A,B,C,D,E和任意的初始矩阵X1∈SRn×n,Y1∈SSRn×n.

2)R1=E-AX1B-CY1DPX,1=ATR1BT,PY,1=CTR1DT

3) 如果Rk=0或者Rk≠0,QX,k=0,QY,k=0停止; 否则进行(4).

显然, 对所有的Xk,QX,k∈SRn×n,Yk,QY,k∈SSRn×n.

引理1 由算法Ⅰ产生的{Ri}, 有

(2)

tr[(E-A(Xi+aiQX,i)B-C(Yi+aiQY,i)D)TRj]=

引理2 由算法Ⅰ产生的{Ri},{QX,i},{QY,i}有

(3)

证明 我们用数学归纳法证明引理2.

对i=j=1,由式(2)可得

假设对i=s-1时, 关系式(3)成立, 下面证明i=s时结论也成立.

所以, 对任意i=s, 关系式(3)都是成立的.

-as[tr(QX,sPX,j)-tr(QY,sPY,j)]=

所以

由数学归纳法可知, 引理2得到了证明.

引理3 设(X*,Y*)是方程(1)的任意一个解, {Xk},{Yk}是由算法Ⅰ得到的, 则

(4)

证明 我们用数学归纳法来证明这个引理.

当k=1时,

所以

当k=s时, 式(4)成立, 下面我们证明k=s+1也成立.

因为

同理可得

所以

可得

由数学归纳法可知, 引理3得到了证明.

定理1 假设方程(1)是相容的, 那么对于任意的初始矩阵X1∈SRn×n,Y1∈SSRn×n. 在误差范围内,方程(1)的解可以通过算法Ⅰ进行有限次迭代得到.

引理4[13]设x是方程Ax=b的一个解, 如果x∈R(AT), 则x是方程Ax=b唯一的最小范数解.

由引理4和方程(1), 可得

假设S,H是任意的……