天津市滨海新区大港油田第一中学 宋艳东

数学学习是一种创造性的思维活动，丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念。数学新课程标准对“三维目标”提出了不同水平的具体要求，在“过程与方法”中，就明确指出要改变课程实施过程中过于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，自主探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。这样学生的数学学习活动就不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。学习方式改变的核心取决于教学方式的改进。所以通过很多专家的努力钻研，产生了很多高效的教学模式和方法。其中问题探究教学法就是以现代建构主义学习观为指导的一种新型的教学模式，它是以问题为载体展开教学，以学生自己独立学习和合作讨论为前提，通过师生探究问题，从而使问题得以解决。在探究过程中为学生提供充分的表达、质疑、探究、讨论问题机会的一种教学形式。该方法以“问题”为出发点，以“问题”解决为目的，学生通过探究问题，达到建构新的数学结构，培养学生各方面的能力，提高数学素质。

根据我校学生特点，并结合我自己对“问题探究教学法”的理解。我在实际教学中的操作流程是“创设情境，提出问题──小组讨论，自主探究──教师引导，推理验──反思交流，总结提高”。下面我就以人教A版数学必修二《空间几何体的表面积》这节课举例说明。

1. 创设情境，提出问题

首先教师引导明确概念，表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小。把由平面围成的几何体沿着若干条棱剪开后，几何体的各面就可以展开在一个平面内，得到一个平面图形，这个平面图形就叫做这个几何体的展开图。由于剪开的棱不同，同一个几何体的展开图可以不是全等形，但是无论怎样剪开，同一个多面体的展开图的面积是一样的。之后回顾初中学习过的正方体和长方体的表面积以及它们的展开图。学生亲自动手将模型展开，让学生通过观察，操作、交流确认它们的表面积就是其各个面的面积和，也就是展开图的面积。最后将问题推广，得出在求多面体的表面积时，可以把多面体展开成平面图形，利用平面图形求面积的方法来求解。利用多媒体动画展示柱、锥、台的各个表面，从感观上对其表面强化认识。最后提出问题让学生探究柱、锥、台的展开图和表面积的求法。

2. 小组讨论，自主探究

通过之前探究的结论，利用平面图形求面积的方法来求解多面体的表面积。所以让学生类比长方体表面积的探究顺序，分组合作动手将柱、锥、台体展开铺平，观察展开图，计算它们的表面积。学生分组合作动手将棱柱、棱锥、棱台模型的各个面分别展开，铺成平面图形，思考讨论平面图形的特征，进而得出求它们的表面积问题转化为求平行四边形，三角形和梯形的面积问题。对于棱柱要处理好平行四边形的各边长与棱柱的底面边长及侧棱长之间的关系；对于棱锥要处理好三角形的各边长与棱锥的底面边长及侧棱长之间的关系；对于棱台要处理好梯形的各边长与棱台的底面边长及侧棱长之间的关系。对圆柱，圆锥、圆台模型分别展开，铺成平面图形，观察得到圆柱的侧面展开图是以该圆柱的母线及底面圆圆的周长为边长的矩形，因此圆柱的表面积转化为两个圆的面积与一个矩形面积的和；圆锥的侧面展开图是以该圆锥的母线为半径，底面圆的周长为弧长的扇形，因此圆锥的表面积转化为一个圆和一个扇形面积的和。圆台的展开图，它的底面展开图是两个圆，侧面展开图是一个扇环，因此圆台的表面积转化为两个圆和一个扇环面积的和。小组讨论总结，求柱、锥、台的表面积就转化成求展开后的平面图形的面积，也就是原图形的底面面积与侧面面积的和。可以归纳出S表面积=S底面积+S侧面积。

3. 教师引导，推理验证

教师引导，学生分组合作，根据S表面积=S底面积+S侧面积，学生自行推导柱、锥、台体的表面积公式，培养学生的动手、推理及逻辑思维能力，变被动接受为自主推理。多面体的表面积没有固定的公式，根据具体平面图形直接计算就可以。 圆锥的表面积的公式：

（其中r为底面半径， 为母线长），但是在推导圆锥表面积公式时，在求解圆锥侧面积这一步要利用扇形面积公式，学生对这个公式记忆模糊。实际上记忆扇形面积公式可以类比三角形的面积公式（底乘以高除以2）加以强化。如图：

把扇形的弧长看成三角形的底，半径看成高。通过这样的类比学生对扇形的面积公式，印象会更加深刻了。这样对于底面半径为r，母线长为l的圆锥，它的侧面积为：

圆锥的表面积公式为：

（其中r为底面半径，l为母线长）

对于圆台表面积的探究，它的底面展开图是两个圆，侧面展开图是一个扇环。对于计算侧面积（扇环面积）让学生合作讨论方法。对于圆台侧面积的求法可以由圆台与圆锥的关系，化台为锥，利用大扇形面积减去小扇形面积求得。推导过程如下：

作如图所示辅助线，设小圆锥的母线长为x

圆台的表面积公式为：

4. 反思交流，总结提高

求柱、锥、台的表面积就是转化成求展开后的平面图形的面积，实则也就是原图形的底面面积与侧面面积的和。即S表面积=S底面积+S侧面积。对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，没有明确的公式，可以根据展开图的平面图形的形状，直接求的面积。但对于圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积有相应的公式，表面上公式多而繁琐，实际上它们之间有着紧密的联系。对于底面半径为r，母线长为l的圆锥，它的侧面积为：公式的形式简单，重要的是让学生认识清楚圆锥侧面积公式的整体特征，圆锥侧面积公式的特征：π×底面积半径r×母线l，引导学生注重其形式特征，学生会很容易的掌握。对于圆台侧面积公式，它的特征是：π×上下底面半径的和×圆台母线，联系圆锥的侧面积，就二者的形式特征，可以和学生是这样分析的：侧面积公式的总体形式是π×半径×母线，圆锥只有一个底面半径，即，而圆台有两个底面半径，而且两个底面半径都得要用，所以把两个半径要加起来。即。对于圆柱，圆锥的表面积公式，这两个表面积公式从形式上有一致的的地方，那就是都有πr(r+l)，只不过圆柱表面积的公式是2倍的πr(r+l)。可以和学生这样分析：圆柱有两个底面而圆锥只有一个底面。所以，而，这样一解释学生自然就会加深印象了。

为了更好的建构知识体系，对于圆柱、圆锥、圆台表面积的公式整体进行分析比较也是很重要的。乍一看三者公式毫不相干，其实它们都可以统一于圆台的表面积公式中，如图所示：

从圆台出发，当上下底面一样时，圆台就变成了圆柱，当圆台上底面缩为一个点时就变为了圆锥。这些不是巧合，也不是偶然，而是因为它们之间存在着必然的联系，也体现了数学中的美。

在新课程理念下，数学课堂教学的探索是一个长期的过程。问题探究教学法在空间几何体表面积这部分内容教学中得到了完美的体现。如此处理圆柱、圆锥、圆台的表面积，由已知到未知，由简单到复杂，层次分明，步步深入，符合认知规律，让学生体验公式的生成，再对公式整合，发现公式中内在的特点，学生易于消化理解，从而也容易形成链锁式的知识体系，使学生形成独立解决问题的能力。