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系统教学之平行四边形的判定的再讨论

2017-06-20天津经济技术开发区第一中学

卫星电视与宽带多媒体 2017年19期
关键词:平分对角对角线

天津经济技术开发区第一中学 刘 东

一直以来,教学改革创新的脚步就始终没有停下过,改教材,改技术支持,改变授课方式,改变教学理念……是的,社会的发展,学生的变化,我们的教育每天都应该是新的,我们的教育不仅仅再是成绩,更多的是关注学生的发展,关注学生的明天。但如何真正做到以生为本,怎样才能构建好适合学生的数学教学呢?笔者认为创新不能仅仅靠新技术、丰富的课堂组织形式,数学教学设计的系统化、体系化更应该是数学教学发展的根本。

关于平行四边形的判定,在人教版义务教育教科书中是以这样的思路呈现给学生的:通过平行四边形性质的逆定理,引出相关命题,并给出证明。学生便于理解、接受,但对于学生知识系统的建立无益,笔者一直致力于寻找一种更为系统的教学设计,使得学生能够有所凭借,开展探究,进而在更广阔的视角下得到结论,更在乎探索的方法、能力上。现在梳理如下,供一线教师参考及丰富相关研究。

第一篇,定理系统。

类比三角形的要素:边、角,平行四边形在边、角的基础上,增加了一个新要素:对角线。因此我们研究平行四边形的有关知识,是通过研究平行四边形的基本要素:边、角、对角线展开的。平行四边形的性质,边的角度包括:对边平行、对边相等;角的角度包括:对角相等;对角线的角度包括:对角线互相平分。反其道而思考:边、角、对角线具有什么样的要求,可以保证四边形为平行四边形呢?

1.除去对角线互相平分(对角线互相平分是一个独立的条件),还可以得到六组性质(如图所示):①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC;⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D。

课本给出四种判定方法(除去对角线互相平分),而以上六组条件中任意选出两组来,总共有15种组合。以下对15种情况进行归纳、分类。

第一种:两组对边平行。

(1)①AB∥CD;②AD∥BC。

这刚好是平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

第二种:一组对边平行且相等

(1)①AB∥CD;③AB=CD。

(2)②AD∥BC;④AD=BC。

可证四边形ABCD是平行四边形。

第三种:一组对边平行,另一组对边相等。

(1)①AB∥CD;④AD=BC。

(2)②AD∥BC;③AB=CD。

这种组合不能判定四边形为平行四边形,即:一组对边平行,另一组对边相等的四边形为平行四边形为假命题。

第四种:一组对边平行,一组对角相等。

(1)①AB∥CD;⑤∠A=∠C。

(2)①AB∥CD;⑥∠B=∠D。

(3)②AD∥BC;⑤∠A=∠C。

(4)②AD∥BC;⑥∠B=∠D。

这种情况是可以得到正确结论的。但是,线段的位置关系(平行)与角的数量关系(相等、互补)可以通过三线八角模型来互相转化,因此第四种方法可以转化为两对边平行或两对角相等的情形。

第五种:两组对边相等。

(1)③AB=CD;④AD=BC。

可以得证四边形ABCD是平行四边形。

第六种:一组对边相等,一组对角相等。

(1)③AB=CD;⑤∠A=∠C。

(2)③AB=CD;⑥∠B=∠D。

(3)④AD=BC;⑤∠A=∠C。

(4)④AD=BC;⑥∠B=∠D。

这种组合不能得到正确结论。

第七种:两组对角相等。

(1)⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D。

可得四边形ABCD是平行四边形。

综上所述最后的七种分类中,有两类不能得到结论,一类可以转化成其他类型,因此说书上的定理体系是完备的。

对角线互相平分是一个独立的判定条件,命题表述为:对角线互相平分的四边形是平行四边形。显然此命题为真命题。

理论上,五种方法融会贯通都能证明,但有繁简之分,依不同的条件选择不同的方法自会得到简单的证法。

第二篇:方法论。

已知条件为的对角线,首选对角线角度,判定方法5。

例1已知,如图所示,在□ABCD中,E、F是AC的三等分点.

求证:四边形BEDF是平行四边形.

方法一:边的角度。

方法二:对角线的角度。

孙维刚先生说过,数学教学的目的在于培养学生一颗强大的头脑,培养学生逢山开路、遇水搭桥的本领。醉翁之意不止在酒,更在乎探索问题的方法与技巧上。有了以上的经历,对于平行四边形的性质与判定就有了系统的把握。更重要的是,交给学生一种研究问题的方法,让学生有所凭借,展翅高飞。

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