■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

二项式定理常见题型及解法

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

二项式定理是高中数学的一个重要定理,在历年的高考试题中,常以选择题和填空题的形式出现,主要求解二项式的展开式中项的系数、常数项、有理项、最大项等问题。而它的通项公式则是求解这类问题最基本的工具,下面给出几种常见题型及其解法。

一、求项的系数

A.16 B.70 C.560 D.1120

点评:在二项式的展开式中,“项的系数”与“项的二项式系数”是两个截然不同的概念,如(x+6)6的展开式的第4项的系数是·63=4320,而第4项的二项式系数却是=20。

二、求常数项

解:由Tr+1=(2x)6-r(-1)rx6-2r·26-2r,令6-2r=0,得r=3。则常数项是(-1)3=-20,故答案为-20。

三、求有理项

点评:此题容易出错的地方是将有理项当成了有理项的系数。

四、求系数和

(x-y)10的展开式中,x7y3与x3y7的系数之和等于____。

解:Tr+1=x10-r(-y)r=(-1)r· x10-ryr。令10-r=7,得r=3,所以x7y3的系数是(-1)3=-120。又令10-r=3,得r=7,所以x3y7的系数是(-1)7= -120。所以x7y3与x3y7的系数之和等于-240,故答案为-240。

点评:此类问题常用“待定系数法”求解,其中为r待定的数。

五、求最大项

当r=0,1,2,…,12时,ar+1ar+2,所以a1a15,由此可知第14项的系数最大。

T14=a14x13=513x13=C(5x)13,故答案为A。

点评:此题是二项式定理与函数、数列知识的交汇题,其中渗透了求数列最大、最小项的常用的单调性法,即通过作差比较相邻两项ar+1,ar+2的大小,得到数列{ar+1}的单调性,从而确定最大、最小项。

六、求特殊项的值

若(1-2x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017(x∈R),则的值为( )。

A.2 B.0 C.-1 D.-2

点评:此题看上去很复杂,但将条件式与问题式进行对比,容易想到用赋值法求解。

七、含有三项问题

(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

解:由题意知,可将三项……