●王 博 陈华云 (温州市第二外国语学校 浙江温州 325015)



以形助数之小心翼翼*

●王 博 陈华云 (温州市第二外国语学校 浙江温州 325015)

数形结合思想作为四大数学思想方法之一，在解题过程中发挥着巨大的作用.但图形毕竟只是直观认知的工具，它不能替代逻辑证明.文章结合实际教学经历，分选不同章节，从不同角度谈谈以形助数的缺陷、错因分析以及如何克服易错点.

数形结合；谬误；逻辑

数形结合是重要的数学思想之一，借助于形的直观，我们能在数的迷雾中看得更真切，时有“拨开云雾见青天”之感.笔者从以形助数的缺陷出发，明示错误，反思错因，从而纠正思维、操作上的谬误，提高数形结合思想方法的理性认识.

案例1 图像特征的认识偏差

例1 设函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点，且0≤b-2a≤1，求b的取值范围.

(2015年浙江省数学高考文科试题第20题)

错解 由题意知

f(-2)=4-2a+b，

由

0≤b-2a≤1，

得

4≤f(-2)≤5.

又因为f(0)=b，所以问题转化为“函数f(x)=x2+ax+b在x∈[-1,1]上存在零点，且4≤f(-2)≤5，求f(0)的取值范围”.如图1，考虑抛物线与2条线段AB,CD均产生交点.由图像可知，当抛物线经过点A,D时，f(0)有最小值，此时

得

b=-3.

当抛物线经过点B,D时，f(0)有最大值，此时

得

但是，结果跟构图一致吗？如图2所示，当抛物线经过点B,D时，f(0)的最大值为某一正数.当数形结合出现矛盾时，孰对孰错？若代数结果不能体现几何特征，它所对应的函数图像是怎样的呢？当我们随手画下抛物线时，这样的抛物线是否满足题意呢？

图1 图2

那么图像该如何放置才能得到b=f(0)的最大值？不妨考虑抛物线……