乌鲁木齐市教育研究中心(831100)

张万军●



匀强电场中的二个重要定理

乌鲁木齐市教育研究中心(831100)

张万军●

本文证明了匀强电场中两个重要的定理：场中两点间的的电势差和两点间的距离成正比；已知场中确定三点的电势，场强可唯一确定.进一步通过实例说明定理的应用及拓展.

匀强电场;三点电势;确定场强

匀强电场是指场中任意一点电场强度的大小和方向都不变的电场，严格意义上的匀强电场是不存在的，它是为我们研究方便引入一的一个理想模型，如同匀速运动.

匀强电场的电场线平行等距,等势面和电场线垂直.“线面垂直”的这一特点为我们解决匀强电场中的问题提供了特有的方法.

下面给出的在匀强电场中的两个定理及其推论在解决一些与电势、场强相关的问题中非常有用.

一、定理及证明

定理1 如图1，匀强电场中AB两点的距离为L，电势差为UAB, 则UAB与L成正比，即UAB∝L.

证明：UAB=Ed=ELcosθ∝L

推论：与AB平行等长的线段，其两端的电势差与AB两端的电势差相等.

由于电势差和两点间的距离成正比，是一个线性函数，其图像是直线，所以，诸如解析几何这的中点坐标公式，定比分点公式等都可以使用.1999年高考考了这样一道题目,开创了此类题目的先河.

图2中A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点.已知A、B、C三点电势分别为UA=15V，UB=3V，UC=

-3V．求D点的电势UD.

根据推论，我们有UD-UC=UA-UB,即UD-(-3)=15-3，UD=9V

定理2 已知匀强电场中确定的三点(其确定的平面与电场平行)的电势，可以求得场强.

推论：已知一点(A)到其他两点(B、C)的电势差(UAB、UAC)，可以求得场强.

确定的三点意味着三点构成一个确定的三角形.满足下面任意一个条件，三角形即被确定.已知三边；已知两边及其夹角；已知两角和任意一边

证明 为方便，考虑已知三角形两边d1、d2、和夹角α的情况.

方法二 如图4,等势面法确定.(不妨设UA>UB>UC)

(3)连接BD，过A做BD的垂线AE，AE的方向就是场强的方向.

二、应用

例1 如图5，匀强电场中有A、B、C三点，∠ACB=90°，AC∶CB=1∶3，一点电荷从C点到A点电场力做功为2 J，从A到B移动的过程中电场力做功为4 J.确定场强方向.

可以设C点电势为0，点电荷电量为1库仑.则A点电势为-2伏，B点 电势为-6伏.显然，BC上距C的三分之一BC处D的电势为-2伏，所以AD为等势面.过C点与AD的垂线即为场强方向，与AC的夹角为45°.

(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；

(2)电场强度的大小和方向.

本题的第二问难倒了一批学生.难点之一：多了一个场，是一个复合场问题；难点之二：两次抛出的方向不确定.这两个点干扰了学生的思维，他们总觉得少了什么条件.

其实，对两次抛出的过程使用动能定理后，我们会发现，可以用小球的初动能表示O点到A、B两点的电势差.从而使问题迎刃而解.

显然，图7中，将OB三等分，在二等分的M点，其电势与A点相同.由几何关系知，此时OM=OA，AM的垂线恰是△MOA底边AM上的高，所以α=30°.

即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°.

设场强的大小为E，有qEdcos30°=qUOA

我们看到，在实际问题中，若三点电势的具体值给出，可以很方便地通过观察和简单的计算确定场强的方向，不必按照方法一、二按部就班求解.

三、与数学的联系

平面直角坐标系有两个互相垂直的坐标轴，恰好满足电场线和等势面垂直的特点.若将一个坐标轴表示电势，那么另外一个坐标轴的方向就是场强的方向.前面给出的两个定理可以在这里直接使用.

如图8，已知平面直角坐标系中A、B、C三点的横坐标分别为3、4、5，确定坐标原点及x、y轴.

步骤：如图9.

(1)显然，A、C中点D的横坐标为4.连接BD，y轴与BD平行,x轴与BD垂直.

(2)延长CA至E，使AE=3AD,D点就是坐标原点.

(3)过E点做DB延长线的垂线，垂线即为x轴.

(4)过E点做x轴的垂线，垂线即为y轴.

若已知三角形的边长，还可以求出三点的纵坐标.

四、拓展

(1)若已知三点确定的平面与场强方向不平行，可以将三个点投影到电场线决定的平面上，再用定理二求得场强.

(3)在讲两个定理之前，先做一个已知三点的横坐标，求坐标系的数学问题是不是对两个物理定理的理解更好呢？

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