广东省深圳市坪山区坪山高级中学(518118)

姚融民●



解读几何概型中的“一一对应与等价转化”

广东省深圳市坪山区坪山高级中学(518118)

姚融民●

几何概型是高中数学新课程的新增加的内容之一，是等可能事件的概念从有限到无限的延伸.正是由于几何概型的基本事件有无限多个，故在几何概型测度的选取上至关重要，测度不同得到的概率会呈现不同的答案.随机事件的概率是事件的本质属性，其取值是唯一确定的.同样的题目出现不同答案，一定是在解题过程中出现了这样或者那样的问题.

人们在解题时总会专注于题目的已知条件，自然而然地将已知条件进行等价转化，即将几何概型的测度进行了转化，从而忽略了在转化过程中的等可能性问题.本文结合自身在教学过程中的遇到的几道习题，进行分析研讨，形成一些认识，与同仁探讨，以期共同提高.

解1 显然直线l的斜率存在，设直线方程为y=k(x+1)，代入(x-1)2+y2=3中得，

(k2+1)x2+2(k2-1)x+k2-2=0，

∵l与圆C相交于A,B两点，

一、已知条件对解题思路的影响

题案1的已知条件给出了点的坐标，又给出了圆的标准方程，很容易引导解题者采用解1来解决， 不论题目设计者是有意为之，还是无心之举，结果是带领我们走进一个无法自拔的思维误区.想纠正这个误区，需与解2进行对比分析

解1是此案的典型错解.事实上此题中定点直线系与x轴正方向所成的角是均匀分布的，是等可能的，故可以用角度作为此题的测度进行计算，如解2.而解1转化为直线的斜率之后，斜率在所得区间内的分布是不均匀的，也就不符合等可能性.

二、探讨解题思路而引发的思考

由于笔者没有系统的学习过概率的相关理论与知识，对于实数在这种一一对应下的等可能问题该如何解释，不能拿出理论依据进行说明，只能通过几何图形在宏观至微观的过渡中进行说明，也就是依据平均变化率至瞬时变化率(导数)这一层次进行说明解释，得出结论如下，不当之处，敬请指正.

①对于函数y=f(x)，假设自变量x在定义域内是均匀分布的，当且仅当f′(x)=常数时，函数值y在其值域内是均匀分布的.

三、一一对应不能确保等可能性，启发思维

此题案实际上与著名的“贝特朗问题”有异曲同工之妙，事实上“贝特朗问题”自从1993年柯莫哥洛夫提出概率的公理化定义以后就能辩解清楚了(本文不再论述)，即几何概型的测度选取至关重要，同样的题目在不同的测度下得出的概率是不同的，究其原因就是将已知条件转化为测度的过程中，虽然是等价转化，但在转化过程中没有保证测度的等可能性.本文不在论述“贝特朗问题”.

针对题案1引发的疑问是：“直线系与x轴正方向所成的角是均匀分布的，是等可能的，此角与直线的斜率(正切值)是一一对应的，如何理解实数与实数在一一对应下，等可能性的不同.”这个疑问在高中阶段很难与学生解释清楚.而本题案的测度选取又不是很明确.故笔者列举以下题案加以说明.

上面两题的意图把几何概型结合不等式来进行综合考查，意图显而易见，属于小综合题，参考答案给出的是解1，既然解1是正确的，那么解2的问题在哪里呢？

那么此变式的解法应该将y在区间上的分布认为是均匀的，而x的分布是不均匀的，故用解2来解此变式.

题案2可以说明的问题是：“虽然x与y是一一对应的，假设x在区间上是均匀分布的，而y在其区间上的分布即是不均匀的，反之亦然.”在此进一步说明结论①.

综上所述，对于几何概型的概率计算，测度的准确选取至观重要.一般情况下我们应该从题目的原始条件出发确定测度，也可以适当进行等价转化，化繁为简，但一定要确保在等价转化过程中等可能性的保持.不论怎样选取测度，都要从条件产生的等可能角度出发，从基本事件的等可能性出发，从建构均匀分布的样本空间出发，方能拨开迷雾，解决疑难.

[1]徐明. “几何概型”教学释疑—兼谈“贝特朗悖论”[J].数学通讯，2009(6)(下半月)

[2]许丽丽，江泽.教育教学[J].福建基础教育研究,2011(8)

[3]魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[4]普通高中课程标准试验教科书.数学3(必修)[M].北京：人民教育出版社，2007.

G632

B

1008-0333(2017)13-0040-02