山东省微山县第一中学(277600) 朱广军

源于基础 深入思考
——从椭圆焦点三角形谈起

山东省微山县第一中学(277600) 朱广军

一个顶点在椭圆上,另两个顶点为椭圆焦点的三角形叫椭圆的“焦点三角形”.与“焦点三角形”有关的问题可以综合地考查三角形中的正(余)弦定理、面积公式及圆锥曲线的定义和标准方程等知识.涉及焦点三角形面积、弦长问题多次出现在试题中,直接解答一般较复杂,若我们能合理而又灵活地运用椭圆的焦点三角形的面积公式、焦半径、焦点弦弦长公式,在解决这类有关问题时,可避免冗长的推理和运算,大大降低难度,从而使问题得以巧妙简单地解决.因此很有必要对椭圆的焦点三角形、焦半径、焦点弦弦长公式等问题进行系统地研究.

此结论在教学中重点讲到,此处不再证明,只给出举例应用

点评一般方法运用定义和勾股定理|PF1|2+|PF2|2=4,解得|PF1|·|PF2|=2,S△F1PF2=1.运用面积公式大大简化了运算过程.思考在结论1中,若已知∠PF1F2=θ,那么是否有类似的焦点三角形面积公式呢?经过推理证明得到以下结论.

(2)证明与(1)相仿,从略.

点评利用结论2,可以省略复杂的思考过程,提高解题速度.在结论1及结论2的证明过程中得到以下椭圆的焦半径公式的三角形式.

结论3 设椭圆方程左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上一点,PF1与x轴所成的角为θ,PF2与x轴所成的角为α,c为椭圆的半焦距,则

例3 设椭圆的左右焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆的长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭……