浙江慈溪浒山中学(315300) 褚金芬 施利云

源于教材 高于教材
——平面向量中的两个重要的恒等式及应用

浙江慈溪浒山中学(315300) 褚金芬 施利云

中学数学中存在着大量的等量关系,如完全平方公式,立方和差公式,两角和与差公式,平行四边形两对角线平方和等于两邻边的平方和的两倍等等.在高中数学中常常可以看到这些等量关系的运用,但有些等量关系课本上没直接给出,需要我们教师去挖掘,去拓展;并在课堂上引导学生参与到探究之中,让他们自己发现并加以积累,然后会灵活地去解决相关问题,它往往可以起到立竿见影的效果,甚至可以起到“秒杀”的效果.以下笔者举例说明.

1 极化恒等式

1.1极化恒等式设a,b是两个非零向量,则a·b=

1.2出处人教版必修4 P109页2.5.1平面几何中的向量方法的例1,可以进一步探究得到.

1.3 几何意义两个非零向量的数量积等于以这两个向量邻边的平行四边形的“和对角线”和差对角线平方差的四分之一.特殊地,△ABC中,其中AD为△ABC的BC边上的中线.极化恒等式建立了向量与几何长度之间的桥梁,实现了向量与代数、几何的巧妙结合.

1.4 极化恒等式的应用

点评向量a,b是在e上的投影确定的两个变化量,利用极化恒等式巧妙地把双变量的问题转化为了单变量问题,于是就迎刃而解了.类似地有2013年浙江省理科高考题第7题,2013年浙江省高中数学学联赛试题(这两题从略),2016年浙江六校联考第8题,2016年新高考研究联盟二模第13题等.

点评此题如……