广东广雅中学(510160) 赖淑明

“交轨法”形式背后的内容

广东广雅中学(510160) 赖淑明

本文从两道高考题探究“交轨法”,获得形式背后的本质内容其实是有心曲线的第三定义及第三定义的逆用,借助第三定义逆用的推广拓展交轨法进一步的应用.

交轨法作为求曲线轨迹方程的一种方法被高中的教师和学生所熟识,相信很多老师在讲授这一方法时会很强调交轨法使用的特定形式:求两条过定点的直线的交点的轨迹.强调交轨法使用的关键:两条直线方程相乘,借助曲线方程消参.但是,这一强调并没有起到引起学生重视和提高学生应用“交轨法”的能力.那么,什么是交轨法?顾名思义,交轨法就是求交点的轨迹的一种方法,命名来自于轨迹形成的形式,那“交轨法”形式背后的内容是什么呢?让我们一起从两道高考题研究交轨法的实质.

例1(2010广东高考理数20题)已知双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,−y1)是双曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;

(2)从略.

题目分析E是两条动直线的交点的轨迹,这两条动直线都过一个定点和一个动点,定点为已知双曲线的顶点,动点为双曲线上关于x对称的两个点.

解设点M(x,y)是直线A1P与A2Q的交点,因为A1、M、P三点共线,所以

点评交轨法的特点是求两条动直线的交点的轨迹方程,操作形式是相乘消参思考:为什么相乘能消参?

问题分析相乘是为了消参,而本题的参数是点P和点Q的坐标,即x1和y1.而①和②的右边相乘即这不禁……