浙江省杭州市萧山区第六高级中学(311261) 陈斌

云南省昆明市寻甸县柯渡镇柯渡中学(655212) 杨彩清

对椭圆、双曲线中两直线斜率乘积为定值的探究

浙江省杭州市萧山区第六高级中学(311261) 陈斌

云南省昆明市寻甸县柯渡镇柯渡中学(655212) 杨彩清

圆锥曲线问题一直都是浙江高考中的核心内容之一,圆锥曲线对于多数考生来说基本上都是有解题的思路,但往往都是计算到中途时搁浅或结果出错.究其原因,主要是学生没有运用好题中所给的条件或者曲线已有的一些性质,导致方法选择不当或运算不合理,解题策略欠佳.因此,本文通过一道课本题的思考题引发对椭圆、双曲线中两直线斜率乘积为定值的思考及探究,通过对这些猜想的论证,得出问题的本质.

椭圆 双曲线 斜率乘积 定值

一、问题呈现

普通高中课程标准试验教科书《数学》(选修2-1)人教A版P55的探究题

如图1,点A,B的坐标分别是(−5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是试求点M的轨迹方程,并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.

问题1.平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值(负数),则该点的轨迹还是椭圆吗?

问题2.平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值(正数),则该点的轨迹是什么?

问题3.以上问题它们的实质是什么?为什么会有这样的结果?

二、初入云雾

问题1.平面内一个点到两定点的斜率乘积为定值(负数),求该点的轨迹方程?

解建立直角坐标系,以两定点所在直线为x轴,两定点的中点为原……