一类含绝对值函数最值问题解法探究

2017-06-05安徽省枞阳县宏实中学246700江保兵

中学数学研究(广东) 2017年7期

安徽省枞阳县宏实中学(246700) 江保兵

一类含绝对值函数最值问题解法探究

安徽省枞阳县宏实中学(246700) 江保兵

在数学解题的过程中,简洁、高效的解法一直是数学学习者追求的目标.一道试题,一个简洁的解法会使我们眼前一亮,而不按套路出牌的“巧解”更使得我们备感兴奋与快乐.“巧解”是对问题本质、内在客观规律的深刻揭示,巧妙展现.本文通过一类含绝对值函数最值问题“巧解”的探究,揭示试题的本质以及它的解题规律,供大家参考.

谁说华山一条道—高考试题的巧解与质疑

例1(2016天津高考文数20)设函数f(x)=x3−ax−b, x∈R,其中a,b∈R.

(I)求f(x)的单调区间;

(II)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;

(III)设a＞0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[−1,1]上的最大值不小于

本题的是函数与导数的综合性试题,难度较大,特别是第三问.第三问正常的解题方法是分类讨论,个个击破,解法冗长繁锁.在教学中,笔者遇到了一种别致的解题方法.

质疑这种解题方法相对命题者提供的标准解答,可谓别具一格,即简洁明快,又让人耳目一新.但这种不按套路出牌的方法,又让人莫明其妙.首先,这种解题方法从何而来?其次,为什么要选择与M作比较?选择其它的函数值与M作比较行不行?本题研究对象是三次函数,那么对二次函数来说有没有类似的结论与解法呢?我们来看一个二次函数的案例以及的它的解题方法.

(II)求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;

(III)记g(x)=|f′(x)|(−1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b,c恒成立,试求k的最大值.

问渠那得清如许—追寻巧解背后的规律

我们看到,相关的结论在二次函数中也成立,解题方法还是那么另类与独特.从有效解题的角度来说,对试题的求解过程进行回顾与总结,寻找解题方法背后隐藏的数学本质,是数学学习的核心内容.那么这类试题与它的另类解题有什么深层次的秘密?我们的探究先从二次函数入手.

定理1设二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果对任意x∈[−1,1]均有|f(x)|≤ 1,则|a|≤ 2,当且仅当f(x)=2x2−1时a=2;当且仅当f(x)=−2x2+1时a=−2.

证由于x∈[−1,1],故可设x=cosθ,θ∈[0,π].当2θ=0,π,2π时,cos2θ=2cos2θ−1取得最值,这时对应的x=cosθ=1,0,−1.注意到,4≥|f(1)|+|f(−1)|+2|f(0)|≥|f(1)+f(−1)−2f(0)|=|2a|,得到:|a|≤2.当且仅当1=|f(1)|,1=|f(−1)|,1=|f(0)|,且f(1),f(−1),−2f(0)同号时,等号成立.即f(1)=1,f(0)=−1,f(−1)=1时,此时a=2,b=0,c=−1,f(x)=2x2−1,或者f(1)=−1,f(0)=1,f(−1)=−1时,此时a=−2,b=0,c=1,f(x)=−2x2+1.

定理2设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,如果对任意x∈[−1,1]均有|f(x)|≤1,则|a|≤4,当且仅当f(x)=4x3−3x时a=4;当且仅当f(x)=−4x3+3x时a=−4.

这个定理的证明只要考虑cos3θ=4cos3θ−3cosθ取最值时自变量x=cosθ,θ∈[0,π]所对应的值(即3θ=0,π,2π,3π),再利用绝对值不等式证明即可,具体证明请读者完成.不管是二次函数还是三次函数f(x),f(x)绝对值在区间[−1,1]上的最大值M(即|f(x)|≤M)总可以转化为函数使得g(x)绝对值在区间[−1,1]上的最大值为1(即|g(x)|≤1).这样由上面的证明,我们可以得到更为一般的结论:

一般地,首项系数为正数的n次多项式函数f(x)当∀x∈[−1,1]时,|f(x)|的最大值M取得最小值时所对应的多项式Tn(x)满足Tn(cosθ)=cosnθ,例如n=2,cos2θ=2cos2θ−1,这时它所对应的多项式为:T2=2x2−1;n=3,cos3θ=4cos3θ−3cosθ,这时它所对应的多项式为:T3=4x3−3x.在证明时,我们先构造函数再选择n+1个数的函数值与1作比较,再利用绝对值不等式证明即可.我们代入的n+1个数恰好就是cosnθ取最值时自变量x=cosθ,θ∈[0,π]所对应的值(即nθ=0,π,2π,...,nπ).一个疑问:如果函数的自变量的范围不是x∈[−1,1],而是x∈[p,q](p＜q),如下题的第三问.那么这个问题又该怎么办呢?

例3. (2016天津高考理数 20)设函数f(x)=(x−1)3−ax−b,x∈R其中a,b∈R.

(I)求f(x)的单调区间;

(II)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;