安徽省枞阳县宏实中学(246700) 江保兵

一类含绝对值函数最值问题解法探究

安徽省枞阳县宏实中学(246700) 江保兵

在数学解题的过程中,简洁、高效的解法一直是数学学习者追求的目标.一道试题,一个简洁的解法会使我们眼前一亮,而不按套路出牌的“巧解”更使得我们备感兴奋与快乐.“巧解”是对问题本质、内在客观规律的深刻揭示,巧妙展现.本文通过一类含绝对值函数最值问题“巧解”的探究,揭示试题的本质以及它的解题规律,供大家参考.

谁说华山一条道—高考试题的巧解与质疑

例1(2016天津高考文数20)设函数f(x)=x3−ax−b, x∈R,其中a,b∈R.

(I)求f(x)的单调区间;

(II)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;

(III)设a＞0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[−1,1]上的最大值不小于

本题的是函数与导数的综合性试题,难度较大,特别是第三问.第三问正常的解题方法是分类讨论,个个击破,解法冗长繁锁.在教学中,笔者遇到了一种别致的解题方法.

质疑这种解题方法相对命题者提供的标准解答,可谓别具一格,即简洁明快,又让人耳目一新.但这种不按套路出牌的方法,又让人莫明其妙.首先,这种解题方法从何而来?其次,为什么要选择与M作比较?选择其它的函数值与M作比较行不行?本题研究对象是三次函数,那么对二次函数来说有没有类似的结论与解法呢?我们来看一个二次函数的案例以及的它的解题方法.

(II)求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;

(III)记g(x)=|f′(x)|(−1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b,c恒成立,试求k的最大值.

问渠那得清如……

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