浙江奉化高级中学(315500) 柴骥宁

在解法探究中赏析美题

浙江奉化高级中学(315500) 柴骥宁

一道好题,应该是其背景深刻丰富,但在解法优化过程当中又能呈现出“接地气”且通俗易懂的通法,本文呈现一例,探究与挖掘一下其丰富的“源与流”.

题目呈现(2016届东北三校第一次联考理科第16题)已知在△ABC中点M是△ABC外一点,BM=2CM=2,则AM的取值范围为____.

下面笔者主要通过对于这道试题多角度的解答,挖掘其丰富而又深刻的内涵.

分析首先对于这个向量等式的处理是简单的,结合图1,易知△ABC是等腰三角形,在由易得,△ABC为正三角形,接下去笔者来具体地解决这个问题.

图1

对于一个几何题,特别对于考试中的学生而言,笔者认为,几何代数化即建系法,是立竿见影,思维量极少的过程,重点在于计算能力,因此生成了下面的第一种解法.

解法1如图2,建立平面直角坐标系,设B(−a,0),C(a,0),由M是外一点,易知a∈又由BM=2CM=2得到 (x+a)2+y2=4, (x−a)2+y2=1,两式联立解得点

图2

因此,

此法是通过建系,用代数化的方式解决几何问题,该法利在思维量较小,而弊端是计算量大,对学生而言当属具有可操作性且通俗易懂的好法子.不难发现解法1中有个三角换元的过程,因此有了解法2.

解法2如图 3,以点M为坐标原点O,线段OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则设M(0,0),B(2,0),C(cosα,sinα)(α∈[0,2π))而向量可以看成是向量绕B点顺时针旋转60°而来,因此

图3

解法2对于减小计算量有了个质的飞跃,但是其中涉及了一个向量旋转得到点的公式,虽说这个知识要点在必修四习题出现过……