北京丰台二中(100071) 甘志国

数学文化高考题举隅(Ⅲ)*

北京丰台二中(100071) 甘志国

2 以世界名题为背景的数学文化高考试题

2.1 3x+1问题

题目44 (2009年高考湖北卷理科第15题)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),

若a6=1,则m所有可能的取值为____.

解4,5,32.由a6=1,得a5=2,a4=4,a3=1或8,a2=2或16,a1=4或5或32.

评析题44的背景是世界数学难题、名题3x+1问题(也称克拉茨问题、叙拉古问题、角谷猜想).

对于任意给定的正整数,连续进行如下运算:如果它是偶数,就除以2,若还是偶数,就再除以2,……直至得到奇数,如果这个奇数不是1,就把这个奇数乘以3再加上1,这样得到的结果又为偶数,就再除以2,这样不断地运算下去,直至得到1为止.问题就是:对于任一正整数,进行上述运算,经过有限步后都能得到1吗?

据说,耶鲁大学有长达一个月之久,人人都在研究这个问题,但却没有任何实质性的进展.经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家爱尔特希的说法:数学还没有成熟到足以解决这样的问题.

下面的题45的背景也是3x+1问题.

题目45 (2013年高考湖北卷理科第12题)阅读如图42所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=___.

答案5.

2.2 数学黑洞问题

题目46 (2014年高考湖北卷理科第13题)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图43所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=____.

答案495.

评析题46的背景是数学黑洞问题,详见文献[11].2015年高考数学北京卷理