杨燕妮

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844006)

有关费尔马小定理的推广

杨燕妮

(喀什大学 数学与统计学院,新疆 喀什 844006)

首先用数学归纳法证明了费尔马小定理，然后通过模p数系乘法的代数结构,不仅导出了公式,同时也证明了费尔马小定理。进一步将此方法推广到了一般模n和任何有限交换群上。最后,借助拉格朗日定理建立了有限非交换群上同样的公式。可见,费尔马小定理是群论最基本的拉格朗日定理之特例。

交换群；非交换群；费尔马小定理；欧拉定理；拉格朗日定理

费尔马小定理[1]是近代密码学瑞沙叶算法[2-3]的理论基础。本文从费尔马小定理的证明出发,分析与p互素的整数在乘法运算下的代数结构,并将其推广到非素数n对应的欧拉定理[4]和一般抽象群的元素上。最终发现费尔马小定理竟然是群论中拉格朗日定理[5]的简单推论。

1 费尔马小定理的归纳法证明

费尔马小定理 设p为一正素数，若a∈且p|a,则：ap-1≡1(modp),∀a∈,p|a。

(1)

众所周知,数学归纳法仅适用于正整数。因此,需先对a作归纳,然后再推广到任意整数。此外,数学归纳法的关键是由a的p-1次方推出a+1的p-1次方。但在模p下,要将(a+1)p-1展开化简并不易。若将a+1取p次方,然后再模p则简单的多。事实上,由二项式定理可知,(a+1)p的展开式中,除头尾两项的系数是1外,其余都是p的倍数,即：

上式分母中的所有整数因子均小于p,因此分子中的p不会被约掉。从而：(a+1)p≡ap+1(modp)。

显然,这里的项数2可被任何正整数取代。换句话说,“和的p次方等于p次方的和”。……