王 庆

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

直角双曲线内接三角形的垂心问题

王 庆

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

目前，有关直角双曲线内接三角形垂心问题的研究还不多。本文用解析几何与射影几何的方法讨论这一问题，得出直角双曲线的内接三角形的垂心在原双曲线上的结论。

直角双曲线；射影几何；垂心

性质1：直角双曲线的内接三角形的垂心在原双曲线上。

证明(1)，首先用解析几何的方法讨论。

(1)

设：b=cosαcosβcosγ+cosαsinβsinγ+sinαcosβsinγ+sinαsinβcosγ，c=sinαsinβsinγ+sinαcosβcosγ+cosαsinβcosγ+cosαcosβsinγ，

(2)

取ω=arctan(-b/c)，则bcosω+csinω=0，该式可变形为

(3)

取S为直角双曲线上对应t=2ω的点，则RS的斜率为cos(ω-γ)/sin(ω+γ)。而由上式(1)可得RS⊥PQ，同理上式(2)可得QS⊥RP、上式(3)可得PS⊥QR。因此，S就是ΔPQR的垂心H，故H也在直角双曲线上。

下面用射影几何的方法证明，讨论中所用射影几何的概念及性质可见[1]。本文的讨论要多次用到射影几何的Steiner定理：设A，B是二次曲线上两定点，它们与二次曲线上动点P的连线的对应APBP是线束A，B间的射影映射，两线束间非透视的射影映射的对应直线的交点轨迹是二次曲线。为了给出性质1的证明，本文先给出如下的性质。

性质2：设A，B是双曲线上两定点，P是动点，则ΔABP的垂心是一条二次曲线。

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