◎刘淑芬 周 李

(华东交大理工学院，江西 南昌 330022)

构造新数列求递推数列通项

◎刘淑芬 周 李

(华东交大理工学院，江西 南昌 330022)

在研究数列问题时，重点、难点问题就是求递推数列的通项.递推数列的通项的求法有多种，笔者认为利用化归的数学思想，通过构造新数列把不典型的数列转化为等差、等比两种典型的数列是一种重要的有效的方法.构造新数列需要比较灵活地运用一些变形技巧，学生求这一类问题时常常会感到力不从心.这也使这一类问题变成难点问题.为此本文介绍了利用构造新数列求数列通项的七种通法通则，供读者参考.

新数列

一、求由an=pan-1+f(n)确定的数列通项公式

an=pan-1+f(n)确定的递推数列的通项公式是相对简单的一种类型.一般方法是构造递推关系an+g(n)=p[an-1+g(n-1)]，使得数列{an+g(n)}为等比数列，所以，只要求出n的函数g(n)，数列{an}的通项公式也就迎刃而解了.在求解过程中，我们要注意函数g(n)的结构需要根据f(n)的结构而定.如果f(n)是关于n的一次函数，则g(n)也应该是一次函数，如果f(n)是关于n的二次函数，则g(n)也应该是关于n的二次函数.确定g(n)的结构与f(n)一致之后再通过待定系数的方法求出g(n).

例1 已知{an}满足a1=3，an+1=2an+1，n∈N*，求数列{an}的通项公式.

二、求由an+1=pan+qn确定的数列的通项公式

五、求由an+2=p·an+1+q·an确定的数列的通项公式

对递推式an+2=p·an+1+q·an，思路是利用待定系数变形成an+2+xan+1=y(an+1+xan)的形式，把数列{an+xan-1}作为等比数列，求数列{an}的通项公式.其中的常数x，y利用待定系数法求得.

例4 (2008年天津卷文科第20题)在数列{an}中，首项a1=1，a2=2，且an+1=(1+q)·an-q·an-1，(n≥2，q≠0)，求数列{an}的通项公式.

七……

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