◎罗兴文

(珠海市艺术高级中学，广东 珠海 519000)

数形结合思想解题之巧与妙

◎罗兴文

(珠海市艺术高级中学，广东 珠海 519000)

数形结合思想在命题中通常体现在两个方面：一是以形助数，即借助形的生动性和直观性阐述数之间的联系；二是以数辅形，即借助数的精确性和规范严密性阐述形的某些属性.也就是说，“代数问题几何化，几何问题代数化”，它往往有“峰回路转”的神效，既能培养学生对数学知识的抽象和概括能力，也能培养学生的数学技能和思维品质.解题之巧、解题之妙，尽在解题过程中享受.

以形助数；以数辅形；思维品质

下面笔者结合历年高考或模拟试题，谈谈数形结合思想解题之巧与妙，供同行滋赏.

一、数形结合思想研究“零点”问题

A.5 B.6 C.7 D.8

解题思路 函数的零点⟺函数图像交点(指横坐标)⟺方程的实数根.

解 由函数f(x)满足f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数.

所以f(x)=f(2-x)=f(x-2)，

以x+2代入函数f(x)，得

f(x+2)=f[(x+2)-2]=f(x),

所以函数f(x)为T=2的周期函数.由x∈[0,1]时，f(x)=x3可以得到f(0)=0，f(1)=1；从而作出x∈[0,1]内，f(x)=x3的图像，再利用f(-x)=f(x)即f(x)为偶函数的性质作出函数f(x)在[-1，1]上一个周期的图像.如图1.

图1

设φ(x)=x·cosπx，则φ(x)为奇函数，图像关于原点对称；而g(x)=|xcos(πx)|为偶函数，图像关于y轴对称.

对于f(x)=|x·cosπx|，可得到

二、数形结合思想研究集合问题

例2 (江苏)设集合

B={(x，y)|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}.

若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________.

解题思路A，B均为点的集合，关键是考虑参数m的变化对A，B集合产生什么影响.常言说：结构决定性质.根据其结构可以转化为：集合A可能表示一个点或圆面或圆环区域；集合B表示两条平行直线所夹的带状区域.A∩B≠∅，可以理……