◎李 辉 龚邦明

( 1.铜仁学院大数据学院，贵州 铜仁 554300； 2.兴义民族师范学院数学科学学院，贵州 兴义 562400)

叶果洛夫定理教学研讨

◎李 辉1龚邦明2

( 1.铜仁学院大数据学院，贵州 铜仁 554300； 2.兴义民族师范学院数学科学学院，贵州 兴义 562400)

本文旨在对叶果洛夫定理(第二版)证明的包含关系做出解释，学生在学习到此证明时，对集合语言与分析语言不容易接受.当将分析语言转化为集合运算时，等式的包含关系就显而易见了，而这也成为理解本定理的关键.

分析语言；集合语言；叶果洛夫定理

一、预备知识

定义2 设有一集列{Si}，并且满足

S1⊂S2⊂…⊂Sn⊂…，

定义3 设有一集列{Si}，并且满足

S1⊃S2⊃…⊃Sn⊃…，

性质1

结论1 与“存在”相对应的是并集运算，与“任意”相对应的是交集运算.

二、分析过程

首先，此种的证法偏重于分析语言，但这样就会造成在用分析语言的思维来分析集合时，显得抽象，不易理解.但是若我们能将分析语言转化为集合语言，在此定理的开头提到的包含关系就能够迎刃而解.

对于符号E[n，ε]，我们看到在定义时是这样定义的：

E[n，ε]=E[|fk(x)-f(x)|<ε，∀k≥n].

意思是指在∀k≥n下，所有满足|fk(x)-f(x)|<ε的点x构成的集合.通过对预备知识的了解，我们知道与“任意”相对应的是交运算，所以，∀k≥n反映到集合语言里就是对变量k做交运算，即：

对于符号E[fn(x)→有限f(x)]，是将分析语言与集合语言混合起来的一种表述，如果翻译成分析表述那就应当是

∀ε>0，∃N>0，s.t.

当∀n>N(ε，x)时，有|fn(x)-f(x)|<ε，

但此处关键是要解决集合之间的包含关系，所以，我们将其转化为相应的集合语言.同理，就要把“任意”转化成交运算，“存在”改为并运算，即

而右边

E[除有限个n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε],

其实是下限集的定义，因为

而由性质1知道

故集合E[除有限个n以外都有|fn(x)-f(x)|<ε]就变为

然后，我们将左右两边……