王 炎，崔建涛，刘 忠



基于分数阶巴特沃斯滤波器的新型超级电容器

王 炎，崔建涛，刘 忠

（辽宁工程技术大学，电气与控制工程学院，辽宁兴城 125100）

超级电容器作为一种新型储能元件在各个领域具有广阔的应用前景。由于超级电容固有特性不是整数阶的，因此建立一个精确且适用范围更广的模型具有重要的研究意义。介绍了超级电容器的基本模型，利用分数阶巴特沃斯低通滤波器的优点，建立了一种新型超级电容器模型并验证了模型的准确性，这可以扩大超级电容器的适用范围，提高稳定性。

超级电容器；建模；分数阶；巴特沃斯滤波器；等效电路模型；稳定性

超级电容器具有充电放电效率较高、适用温度范围较宽、循环寿命较长等特点，在储存能量、电动汽车[1]等许多领域具有广阔的应用前景。利用其对燃料电池的辅助作用的特点，可以在混合动力中起到很重要作用，并且有助于能量的再恢复[2]。建立精确的模型对进一步研究超级电容器特性、拓宽其适用范围、完善元件材料的理论体系以及后续实际应用都具有重要意义。

2000年，Spyker等[3]提出了一个经典的等效电路模型，但此模型只反映了很小时间常数下的响应，只适用于简单特殊情况。Gualous等[4]提出了使用电化学阻抗谱法构建一个超级电容器的二阶等效电路，并且建立了电容值关于温度的方程。2009年，Brouji等[5]用阻抗谱法研究了超级电容器生命周期。这些研究者们建立了等效电路模型并且提出了参数值是变化的观点。通过研究已经提出的模型可知，模型的准确性和适用性一直是需要进一步完善的问题。

近年来，随着分数阶微积分的发展，其研究取得了很大进步，拓展了分数阶的适用范围，出现了包括分数阶振荡器、分数阶巴特沃斯（Butterworth）滤波器、分数阶PID控制器等新型电路。分数阶微积分具有较长的记忆特性，使其成为可以更简洁准确地描述材料、过程及系统复杂特性的重要途径。巴特沃斯低通滤波器具有显著的特点，即频率响应曲线在通带内，在最大限度上是平坦的，没有太多起伏，而在阻频带则缓慢下降为零，且具有良好的线性相位特性、结构简单、易于设计等优点[6]。低阶巴特沃斯低通滤波器响应速度较快、超调量较小、稳定性较好；高阶巴特沃斯低通滤波器检波精度好[7]。

超级电容的固有多孔结构特性，电解质离子在极微观的程度下形成双电层储能结构，其动态特性很难描述。Jonscher[8]的研究表明，构成电容的电解质材料体现出的是分数阶特性，使得整数阶电容的容抗形式不符合因果关系。建立超级电容器的整数阶模型来描述它的特性可能会得出错误的结论，因此需要建立超级电容器的分数阶模型。此外，现有分数阶超级电容器建模的相关研究很少，超级电容器的分数阶模型的研究显得十分必要。本文提出了一种基于等分数阶低通滤波器的超级电容器，利用分数阶巴特沃斯低通滤波器的特点，同时结合基本超级电容器模型，可以扩大超级电容器的适用范围并提高其稳定性、抗噪性等特点。

1 超级电容器的基本原理

1.1 双电层原理

超级电容器（Supercapacitor）又称为双电层电容器[9]，这个名字是依据超级电容器充电放电的储能原理所得。超级电容器在导体及电解液的分界面处会形成符号相反的稳定的双层电荷，即双电层(Helmholtz)，并在该层中储能。双电层超级电容器基于静电电荷存储原理，化学反应没有发生在储能过程中，具有非常高的充放电效率[10]。图1所示为超级电容器物理结构，电荷储存于电极多孔结构里；与传统电容相比，超级电容器的静电容量可达数万法拉，这是因为其双电层厚度较薄，并且多孔电极的表面积很高。影响超级电容器性能的因素有：电极材料的电导率、电极表面积、电化学性质及粒径分布等。

图1 超级电容器的物理结构

1.2 多孔电极理论

电极和电解液是相对空间分布，需要用电容和电阻组成的复杂网络来进行描述，而不是用简单的理想电容。因为存在多孔性以及电极混合物的一些特殊性质，会出现由扩散元件表示的扩散现象[11]。扩散现象是由于欧姆性颗粒的接触电阻及一些杂质引起了化学反应而生成了漏电阻。

Levie提出的电容器多孔电极模型[11]显示，导体与电解液（液体与固体）接触面的电荷是符号相反的双层电荷，图2所示为微观描述多孔结构，其原理是依据流过多孔结构的传输电流的类型。电流可以分为三种：电解液与导体分界面的位移电流、电解液的离子运动形成的电流以及流过电极的电流[10]。

图2 微观描述多孔结构

1.3 等效电路模型

多分支RC参数模型[12]如图3所示，此模型在充电放电过程的不同时间段每个分支单独作用，即该模型的每个分支的时间常数不同且差别较大。分支1对超级电容器充电后前几秒时间的瞬时响应具有决定作用且其时间常数较小；分支2对超级电容器在分钟数的瞬时响应具有决定作用且其时间常数较大；分支3对超级电容器在10 min以上时间段的瞬时响应具有决定作用且其时间常数最大。提高该模型的分支数可以提高仿真精度。由于模型仿真精度和复杂度的矛盾性，通常情况下采用三分支模型。多分支RC参数模型基于电压和电容的关系，描述超级电容器电荷重分配的过程更便捷，但由于该模型下每个分支的时间常数的确定在一定程度上需依据经验，并且不同分支的时间常数较为独立，这与实际情况有所不同。由于超级电容器一般工作于低频，且在高频时电感参数值较小，因此基本的等效电路模型不再考虑电感。

图3 多分支RC参数模型

1.4 超级电容器频域模型

通过阻抗谱分析的方法，得到超级电容器频域模型。超级电容器的奈奎斯特图如图4所示[13]，在低频段近似一条垂线，中频段近似为45°的斜线。得出其低频特性可以用一个理想电容来进行描述，在中频段可以用一个纯电阻来描述超级电容器多孔电极的复阻抗特性，超级电容器在高频段具有电感特性。该模型中i表示串联电阻，i表示多孔电极的复阻抗特性，表示超级电容器的高频特性，但其在一般情况下可以忽略不计。

图4 超级电容器奎纳斯特图

频域模型的数学表达式如式(1)所示，其中e1和d1是多孔电极结构决定的阻容参数。

在频带较宽的情况下，超级电容频域模型可以更精准地描述其频率响应特性。

2 分数阶巴特沃斯滤波器——超级电容器的无源实现

2.1 等分数阶巴特沃斯低通滤波器

分数阶巴特沃斯低通滤波器的频率响应是平坦的通带。特征方程的幅值平方函数为，其中为正整数表示滤波器的阶数，表示归一化频率，表示通带的衰减。

一般的分数阶低通滤波器的传递函数如式(2)所示，其中, b为分数阶阶次并满足>0，≤2。当=j时，传递函数的特征方程化简为式(3)。

（3）

（5）

因此，一些简化后的巴特沃斯低通滤波器条件为式(7)，其中，由此可知截止频率与参数有关：。

（7）

Soltan和Radwan给出了对于等分数阶巴特沃斯低通滤波器所要满足条件下参数的关系如式(8)(9)，其中是关于条件方程解的情况而分为三类：无根、单根、双根。

（9）

因此如果分数阶次给定，则很容易得到巴特沃斯低通滤波器所满足的条件。如图5所示为阶次时的幅值响应。

图5 的滤波器幅值响应

2.2 新型超级电容器的无源实现

无源电路的传递函数与前面提到的类似，可以利用特殊情况下的算法来计算传递函数的相关参数。Kerwin–Huelsman–Newcomb（KHN）和Sallen–Key得出了传递函数中的参数与电路元器件的关系如式(10)所示。使用两个具有不同分数阶阶次的元件实现的分数阶巴特沃斯低通滤波器电路原理图和电路仿真分别为图6，图7。使用两个分数阶元件的KHN滤波器无源实现如图8所示。在不同分数阶和等分数阶阶次的电路仿真如图9所示。

图7 分数阶巴特沃斯滤波器的电路仿真

图8 使用两个不同分数阶元件的KHN滤波器

图9 KHM滤波器电路仿真

表1给出了在归一化频率h= 1 rad/s的条件下，当电阻= 50W时电容和电感的一些参数值。可以利用传递函数中参数与电路元件值的关系来得到无源电路的传递函数。此外，通过频率缩放，电容参数和电感参数可以从任意截止频率得到。

表1 在=50W, w0=1 rad/s时不同阶次电容电感值

Tab.1 Values of L and C for differentat R=50 W, w0=1 rad/s

Tab.1 Values of L and C for differentat R=50 W, w0=1 rad/s

aLa/[H·s–(a–1)]Ca/[F·s–(a–1)] 0.862.80.16 0.945.40.22 135.40.029 1.128.90.035 1.224.60.041 1.321.50.046 1.419.320.052

一种基于巴特沃斯低通滤波器的超级电容器如图10所示，对于三阶非线性超级电容部分，由之前讨论可知每条分支时间常数都不同，该模型引入了受控电容和固定电容并联的模式来更好地描述电容受端电压的影响特性。其中引入的漏电阻是为了体现其自放电现象[12]。

图10 超级电容器模型

Fig.10 Model of supercapacitor

此外，分数阶超级电容器比整数阶超级电容器具有更高的精度，而且分数阶元件具有的传输特性可以更好解决在整数阶超级电容器中支路数较多所带来的问题[15]。利用部分分式展开的思路，运用矢量匹配的方法得到分数阶超级电容器的表达式(12)。

其中每项如式(13)、(14)、(15)所示。

（13）

（15）

（17）

（18）

对比可得等效电路的参数为：

（20）

（21）

（23）

（24）

一种新型等分数阶巴特沃斯滤波器-超级电容器等效模型如图11所示，结合了基本模型与等分数阶巴特沃斯滤波器。基本模型利用矢量匹配的结果用电路综合的形式来实现[16]。这种超级电容器，可以接受更高更宽频率的输入量，同时也降低了模型的阶数。

图11 巴特沃斯滤波器-超级电容器模型

图11所示阻抗如下所示：

（26）

3 算例

为验证本文所提新型超级电容器模型的合理性，考虑对2.7V 100F及16V 58F的超级电容器进行算例分析。图12，13分别为2.7V 100F及16V 58F超级电容器的复频相频特性曲线[13]。

图12 2.7V 100F超级电容的复频相频特性曲线

图13 16V 58F超级电容的复频相频特性曲线

对于型号为2.7V 100F的超级电容器，其矢量匹配拟合后的阻抗为式(27)。考虑阶次为的等分数阶阶次滤波器部分，其对应的参数值可以通过表1得到，即。最后代入(25)式可以得到阻抗。如图14所示为阻抗的bode图。

（28）

图14 阻抗的频率响应特性曲线

Fig.14 Frequency response curve of impedance

对于型号为16V 58F的超级电容器，其矢量匹配拟合后的阻抗为式(29)。考虑阶次为的分数阶阶次滤波器部分，其对应的参数值可以通过表1得到，即。最后代入式(25)可以得到阻抗。如图15所示为阻抗的bode图。

（30）

4 结论

基于超级电容器的基本等效电路模型，提出了分数阶巴特沃斯滤波器的新型超级电容器模型，得到了模型的等效电路，并验证了模型的准确性。扩充了超级电容器的基本模型理论，增大了其适用范围，提高了抗噪能力。此外，可以在不改变电路结构和元器件的基础上，利用改变滤波器的极点和带宽来改变分数阶阶次，这样大大增加了超级电容器的应用范围与适用广度。后续在研究超级电容器建模的基础上，试探其他电子元件的分数阶建模，这可以完善元件材料的理论体系，拓宽元件材料应用范围，具有较好的现实意义。

（a）幅值

（b）相角

图15 阻抗的频率响应特性曲线

Fig.15 Frequency response curves of impedance

[1] ASHTIANI C, WRIGHT R, HUNT G. Ultracapacitors for automotive applications [J]. J Power Sources, 2006, 154(2): 561-566.

[2] KÖTZ R, CARLEN M. Principles and applications of electrochemical capacitors [J]. Electrochim Acta, 2000, 45(15/16): 2483-2498.

[3] SPYKER R L, NELMS R M. Classical equivalent circuit parameters for a double-layer capacitor [J]. IEEE Trans Aerospace Electron Syst, 2000, 36(3): 829-836.

[4] GUALOUS H, BOUQUAIN D, BERTHON A. Experimental study of supercapacitor serialresistance and capacitance variations with temperature [J]. J Power Sources, 2003, 123: 86-93.

[5] BROUJI H, BRIAT O, VINNASA J M, et al. Analysis of the dynamic behavior changes of supercapacitors during calendar life test under several voltages and temperatures conditions [J]. Microelectron Reliab, 2009, 49: 1391-7.

[6] 余水宝. 一种实现偶数高阶滤波网络的新方法[J].电子测量与仪器学, 1999, 13(1): 40-44.

[7] 陈三风. 一种新型的巴特沃斯低通滤波器设计[J]. 深圳信息职业技术学院学报, 2011(1): 89-92.

[8] JONSCHER A K. Dielectric relaxation in solids [M]. London: Chelsea Dielectric Press, 1983.

[9] 陈永真. 电容器及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2005: 202-203.

[10] 赵洋, 梁海泉, 张逸成. 电化学超级电容器建模研究现状与展望[J]. 电工技术学报, 2012, 27(3): 188-195.

[11] Electrochemical supercapacitors: scientific fundamentals and technological applications [M]. New York: Kluwer Academic Plenum Press, 1999.

[12] ZUBIETA L, BONERT R. Characterization of double-layer capacitors for power electronics applications [J]. IEEE Trans Ind Appl, 2000, 36(1): 199-205.

[13] CHENG X, LIANG G S, LIU X, et al. A new supercapacitors fractional order nonlinear model [J]. Adv Mater Res, 2013(860/861/862/863): 2279-2282.

[14] 程序. 超级电容器分数阶建模及其控制方法研究[D]. 保定: 华北电力大学, 2014.

[15] RIU D, RETIERE N, LINZEN D. Half-order modelling of supercapacitors [C]// Industry Applications Conference, 2004, 39th IAS Annual Meeting. New York: IEEE, 2004.

[16] 张世演. 网络理论-模拟网络及其应用 [M]. 成都: 西南交通大学出版社, 1993.

（编辑：曾革）

New supercapacitor modle of fractional order Butterworth filter

WANG Yan, CUI Jiantao, LIU Zhong

(College of the Electrical Engineering &Control Engineering, Liaoning Technical University, Xingcheng 125100, Liaoning Province, China)

Supercapacitors have broad application prospects in various fields as a new type of energy storage devices. It is important to establish an accurate and widely applicable model for the inherent characteristics of supercapacitors are not integer order. The basic model of supercapacitor was introduced. Based on the fractional Butterworth filter, a new type of model was proposed and the accuracy of the model was verified. This can expand the scope of application and improve the stability for the supercapacitor.

supercapacitor; modeling; fractional order; Butterworth filter; equivalent circuit model; stability

10.14106/j.cnki.1001-2028.2017.05.007

TM53

A

1001-2028（2017）05-0030-07

2017-01-06

崔建涛

王焱（1970－），女，辽宁阜新人，教授，主要从事信号检测与处理研究，E-mail: 179577221@qq.com ；崔建涛（1990－），男，山西临汾人，研究生，研究方向为电力系统及其自动化，E-mail: 764343289@qq.com；刘忠（1968－），男，辽宁葫芦岛人，研究方向为供电技术，E-mail: 532292835@qq.com 。

网络出版时间：2017-05-11 13:24

http://kns.cnki.net/kcms/detail/51.1241.TN.20170511.1324.007.html