●庄俊辉 胡华叶(金华市第六中学 浙江金华 32100)

对一道高考解析几何试题的再挖掘*

●庄俊辉 胡华叶
(金华市第六中学 浙江金华 32100)

在数学高考中，解析几何问题因运算量大、思路不明确，学生易畏难.文章通过研究高考试题，发现需要抓住典型，深入研究、引申、推广，从而得到圆锥曲线的共同特点和相关结论，使高三数学的复习教学更有效，更有利于不同层次的学生有各自的收获.

一般化推广；充要条件；类比推广；变式拓展

解析几何大题是学生比较害怕的题目，主要是思路不明确、运算量大，造成成就感低，普遍有畏难情绪.最近，笔者在研究高考试题时发现解析几何题的破解，还是需要抓住典型，深入研究一些引申和推广,下面以2010年全国数学高考理科试题第21题为例进行说明.

题目 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为点D.证明：点F在直线BD上．

1 一般化推广

将以上问题中的抛物线和点一般化，可得：

推广1 已知抛物线y2=2px(其中p>0),在x轴上有一点P(t,0)(其中t>0),过点Q(-t,0)的直线l与抛物线相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为点D.证明：点P在直线BD上．

图1

证明 如图1，设A(x1,y1),B(x2,y2),由对称性知D(x1,-y1).将直线l的方程x=my-t(其中m≠0)代入y2=2px,得

y2-2pmy+2pt=0,

y1+y2=2pm,y1y2=2pt,

从而直线BD的方程为

即

令y=0,得

从而点P(t,0)在直线BD上．

2 充要条件

交换部分条件和结论，便产生一道新题，即：

推广2 已知抛物线y2=2px(其中p>0),过定点Q(-t,0)(其中t>0)的直线l与抛物线相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为点D.证明：若直线BD与x轴相交于点P，则P为定点(t,0)．

显然，由推广1的证明不难得出．

这种状况当然不适合有外人在场。但一切来得太快，也来得太突然，柳红想避已经避不开了，她像是被孙悟空定了身，傻傻地竖在苏秋琴面前。苏秋琴也如同从噩梦中惊醒，两眼惊恐地盯着她弟媳妇柳红。四目相对，犹如雷电相击，震得俩人赶紧别头，一个张东，一个望西。

综合推广1和推广2，可得：

推广3 已知抛物线y2=2px(其中p>0)，在x轴上有一点P,过点Q(-t,0)(其中t>0)的直线l与抛物线相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为点D.证明：点P在直线BD上的充要条件是P为定点(t,0)．

3 类比推广

正如数学家波利亚感叹：“类比是伟大的引路人.”[1]我们知道抛物线与椭圆、双曲线具有部分统一性，椭圆、双曲线上是否具有抛物线上述类似发现？

图2

(a2+b2m2)t2y2+2mta2b2y+a2b2(a2-t2)=0,

(充分性)若P为定点(t,0)，则

(必要性)不妨设点P(x0,0),则

若点P在直线BD上，则kPB-kPD=0,即

对于椭圆有推广4，对于双曲线是否也有同样的结论呢？答案是肯定的，证明方法与推广4基本相同，只需将椭圆发现证明过程中的b2换成-b2，便可得如下结论：

4 变式拓展

一道好的试题通常是命题者研究成果的结晶，它们在一个新的背景下，变换了部分条件和结论，或者是给出某个问题的一个特例，便又生成了一道新题，不断产生思维挑战．笔者又作了如下探究：

推广6 已知抛物线y2=2px(其中p>0),在x轴上有一点P(m,0)(其中m≠0),过点Q(n,0)(其中n≠0)的直线l与抛物线相交于点A,B，点A关于x轴的对称点为点D.证明：点P在直线BD上的充要条件是m+n=0．

探究一道好题，如饮美酒回味无穷；掌握一种方法，如获至宝爱不释手；理解一种思想，如登泰山绝顶，一览众山小.在新高考文理同卷的背景下，数学的复习教学更应该在有限的题目和时间里挖掘，以匹配不同层次的学生，让他们有各自的收获.

[1] 虞懿,曹斌.2015年高考数学全国Ⅰ理科第20题的探究历程[J].数理化解题研究，2016(4)：18-19.

2017-02-28；

2017-03-30

庄俊辉(1983-)，男，浙江金华人，中学二级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-25-02