左效平 崔成进

探求线段和的最小值问题是中考的重要考点. 这类问题背景丰富，现举例说明.

正方形背景下探求线段和的最小值

【构建模型】 在正方形中，一动点 + 两定点，对称点在形上，探求线段和的最小值.

【解答要领】 确定对称点：根据正方形的对称性，对称点就是对角线的两个顶点;确定线段和取最小值时动点的位置：对称点和另一定点的连线与动点所在直线的交点;确定与线段和相等的最短线段：对称点与另一定点构成的线段.

例1 如图1，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD + PE的和最小，则这个最小值为（ ）.

A.  2[3] B.  2[6] C.  3 D.  [6]

解析：如图2，∵正方形ABCD是轴对称图形，且点B，D是对称点，

设AC与BE交于点P，连接PD，此时PD + PE最小，∴PD + PE = PB + PE = BE，

∵正方形ABCD的面积为12，∴AB = [23]，∴BE = AB = [23]. 故应选A.

【同步演练】 如图3，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM = 1，N是AC边上一动点，则△DMN周长的最小值是 .

菱形背景下探求線段和的最小值

【构建模型】 在菱形中，一动点 + 两定点，对称点在形上，探求线段和的最小值.

【解答要领】 确定对称点：根据菱形的对称性，对称点就是对角线的两个顶点;确定线段和的值时，动点的位置：对称点与另一定点的连线与动点所在直线的交点;确定与线段和相等的最短线段：对称点与另一定点构成的线段.

例2 已知菱形ABCD的周长为16，面积为8[3]， E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP + AP的最小值为 .

解析：如图4，菱形ABCD是轴对称图形，且点A，C是对称点，

连接CE，交BD于点P，此时EP + AP最小，

EP + AP = EP + PC = EC，

∵菱形ABCD的周长为16，∴其边长为4，

过C作CF⊥AB，垂足为F，

∵菱形ABCD的面积为……