陈益周

福建省莆田第五中学 (351100)

圆锥曲线一个统一性质的简证及推广

陈益周

福建省莆田第五中学 (351100)

《数学教学》2014年第12期文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质，即文[1]的定理3，并用较大的篇幅就椭圆、抛物线的情形给以证明，同时指出其逆命题成立，即文[1]的定理4(没有给出证明).本文先给出文[1]的定理3、4的一个简单证明，再把定理3、4进一步推广到更一般的情形.

先把文[1]的定理3、4抄录如下：

性质1 (文[1]的定理3)在横向的标准圆锥曲线中，已知定点C和定直线l是一对类焦点和类准线，过定点C作圆锥曲线的两条弦AB、DE，则直线AD与BE的交点P的轨迹在直线l上.

性质2 (文[1]的定理4)在横向的标准圆锥曲线中，已知定点C和定直线l是一对类焦点和类准线，P是l上一点，AB是经过点C的一条弦，D、E是圆锥曲线上异于A、B的两点，若AD与BE的交点P在l上，则直线DE恒过定点C.

下面先给出性质1、性质2的一个简单证明.再把上述性质中的“类焦点和类准线”推广到“极点和极线”的情形.

引理2[2]已知圆锥曲线Γ的内接四边形P1P2P3P4(字母P1，P2，P3，P4按逆时针排列)中，直线P1P4、P2P3相交于曲线Γ外一点P，PT1、PT2与曲线Γ相切，切点为T1、T2，则四边形P1P2P3P4的对角线P1P3、P2P4与切点弦T1T2三线共点(如图1).

图1 图2

下面利用上述引理给出上述性质1、性质2的一个简证(同文[1]，只证明椭圆、抛物线的情形)：

对于抛物线y2=2px(p>0)，设定点C(m,0)(m>0)和定直线l：x=-m是一对类焦点和类准线，直线AD与BE的交点P(x0,y0).若连结AE,BD，则ADBE(字母A、D、B、E按逆时针排列)是抛物线的内接四边形. 过点P(x0,y0)作抛物线的两条切线PT1、PT2，切点为T1、T2，据引理1，切点弦T1T2所在直线方程为y0y=p(x+x0).据引理2，……