吴笑蓬

江苏省海门中学高二(5)班 (226100)

白雪公主和七个小矮人
——记与抛物线有关的七个圆

吴笑蓬

江苏省海门中学高二(5)班 (226100)

在近几年江苏高考的附加试题中，以与抛物线有关的轨迹类问题作为压轴的频率较高.想在这样类型的题目上顺利过关，进而取得较为满意的分数，取决于给的时间的多少.如果掌握了与抛物线相关的一些结论，那么解决这样类型的问题也就事半功倍了.笔者结合老师上课的讲解以及自己在平时学习中的感悟，发现了抛物线中的“七个小矮人”这样有趣的现象，希望对大家有所启发.

图1

圆一：过x轴上一点M(2p,0)作抛物线y2=2px(p>0)的任意一条弦，则以其弦为直径的圆必过原点.

证明：不妨设弦AB的方程：x=my+2p,联立抛物线方程得到

在对圆1的研究过程中又发现了这样的一个逆命题:如图1，OA与OB为抛物线y2=2px(p>0)相互垂直的两条弦，连AB,则直线AB恒过H(2p,0).(OH的一个靠近O的四等分点即为抛物线的焦点),这样的结论也有利于我们快速准确的确定抛物线的焦点所在位置.

圆二：若AB为y2=2px(p>0)的焦点弦，过A,B分别作准线的垂线，垂足为A1,B1,则以AB为直径的圆与A1B1相切.

图2

将焦点弦与准线结合在一起,竟有这么奇妙的性质,那让我们在下一题中继续展开丰富的想象吧!

图3

(理)(2011韶关月考)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l:y=-2相切.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A,B为切点作轨迹C的切线，设两切线的交点为Q，证明：AQ⊥BQ.

原题的解答如下:

(1)易知圆心的轨迹是x2=8y.

既然AQ⊥BQ，我们就能想到点Q就在以A……