摘要：本文研究了在数学分析中遇到的柯西收敛准则。它是判定极限存在性的理论，我们从概念上来分析理论的本质，并通过两个例子做了更透彻的说明。

关键词：Cauchy准则；极限存在性；函数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）15-0209-02

Cauchy收敛准则是整个分析学的基础，在华东师范大学版《数学分析》中，放到实数完备性的基本定理中，它不仅可以用来判定数列和函数的极限存在性，而且还为后面的级数收敛提供了判别方法。由于这个理论的抽象性，不容易理解，学生在学习的时候，总觉得无从着手，接下来我们将从概念的角度来阐述。

一、Cauchy收敛准则的概念

在数学分析教材中，对柯西收敛准则定义如下。

定理1.1：数列a收敛的充分必要条件是对任意的正数ε，总存在正整数N，使得当n，m>N时有|a-a|<ε。

定理1.2：设函数f（x）在邻域U°（x，δ′）有定义，f（x）存在的充分必要条件是对任意的正数ε总存在正整数δ<δ′，使得当

上述定理是研究函数或数列极限的存在性的基本定理，它的本质在于我们可以根据函数本身的特性来说明极限的存在性问题，它不同于极限的ε-N语言或ε-δ语言，需要确定极限的具体值，如要说明当x→x，sinx的收敛性，我们可以根据sinx本身的特性进行说明。而sinx本身具有什么特性呢？它具备对任意的

因此，可以根据这一特性来说明当x→x时，sinx的收敛性。

Cauchy收敛准则的理论在理论上近乎完美，然而在应用上局限性太大，因为要找到与柯西准则有关的函数本身特性非常困难，因而不太实用。

二、Cauchy收敛准则的应用