赵泽福，黄永

（云南昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000）

论数学思想之数学模型思想

赵泽福，黄永

（云南昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000）

数学思想方法是发展人脑思维能力的拱心石，也是数学发展的关键和主导因素，同时在我们学习工作中发挥着重要作用，并终生受益.模型思想在数学思想方法中是不可缺少的，毕竟数学创新和数学解题的思维过程其实就是数学问题转变的过程，也是数学原型与数学模型之间的相互转变过程.因此模型思想应该成为教与学的根本思路，同时也是数学发现、数学解题的常用思想方法.

数学思想；模型思想；数学原型；数学模型

1 问题的提出

数学的发展史包含着数学思想和方法的积淀,当然数学本质的飞跃要算数学思想方法的重大突破.所以[苏]弗里德曼认为：“数学逻辑结构的一个特殊、重要的要素就是数学思想，整个数学学科就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来.”

数学思想是发展数学能力的拱心石，正如日本数学教育家米山国藏所说：“我们所学的数学知识，如果没有机会应用，时间一长，就会被忘掉，然而铭记在头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期在生活和工作中发挥重要的作用，受益终生.”因此，开发学校数学课程，必须加强数学思想与方法的渗透，强化数学思想方法，特别是数学模型思想方法的培养和训练，全面提高学生的数学思维能力.

2 数学思想概述

当今数学教育中，“数学思想”是个核心概念，然而，什么是数学思想？学术界却没有统一的答案.但是从多角度去解释数学思想，应该会更好.

张奠宙先生认为：数学思想尚不成为一种专有名词，人们常用它来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成就.当然，同一数学成就，当用它去解决别的问题时，称之为方法，当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为数学思想.比如：M.克莱因的巨著《古今数学思想》，说的都是古今数学方法.但是从数学史角度看，人们在本巨著中，更加注重的是那些数学大师们的思想贡献，文化价值，因而称此巨著为《古今数学思想》.

丁石孙先生认为，数学思想就是人们对于数学的看法.但是，从数学教育的角度来看，数学思想就是对数学内容、方法的本质认识，也是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识.因此，数学思想贯穿于解决数学问题过程中的思维方法的普遍策略和规律.所以学生是能否有意识、主动运用数学思想解答数学问题，是衡量其数学能力和数学综合素质高低的重要标志.

3 数学思想之数学模型思想

建立模型思想是数学中常用的数学思想方法之一.

“数学模型方法”就是把研究的对象或问题转化为本质同一的另一对象或问题，并加以解决的思想方法.它既是处理数学理论问题的思想，也是解决各种实际问题的方法.

在论述模型思想时要涉及“模型”与“原型”两个基本概念.“模型”是相对“原型”而言的.原型是指在现实世界中的客观事物，也通常指被研究的对象或问题.而“模型”则是对客观事物本质属性的模拟，从而转化成相对定型的、模拟化、结构化的对象或问题.所谓数学模型——是指使用数学符号、式子、数学关系描述特定问题或具体实际事物关系的数学结构.数学模型是对原型作出的一种简化而本质的描摹.

在教学中，数学模型转化为原型，我们应尽量选取学生所熟悉的生活实例来还原现实情景背后的数学，最终使学生感受到这些数学概念不是人为硬性规定的，而是与实际生活密切联系的.所以从普遍意义上说，实际问题比模型化的纯数学问题更符合问题的实质，同时更能揭示数学知识的本质，更易被学生接受.

反过来，把原型转化为数学模型.通过用数学知识来解决熟知的、贴近生活的实例，使学生体会到应用数学知识解决实际问题的愉悦感，从而体现数学的实际应用价值.这实际上也增强学生对数学知识的应用意识，使学生感受到数学不再是高深的理论、枯燥乏味的东西.至于原型转化为数学模型的一个最典型的例子，要数欧拉把哥尼斯堡“七桥问题”转化为欧拉回路一笔画问题.

因此，数学模型与原型间的相互转化，应该是教与学的根本思路.但是，所建立的模型必须真实反映原型的结构、关系等数学本质特征和变化规律.

当然，我们所学过的数学概念、公式、定理、法则、原理等，以及各类问题及其解答规律，都以不同程度地保留在我们的记忆之中，我们也称之为数学模型.波利亚巨著《怎样解题》中说到:“你以前见过它吗？你是否见过相同的或形式稍有不同的问题？你是否知道与此有关的问题等？这样在我们正要解答某数学问题时，把待解答的问题与已掌握的数学模型进行比较，解法也就自然有了.”这也表明波利亚在强调模型思想的重要性.

所以《普通高中数学课程标准实验》明确提出，数学课程要求把数学探究、数学建模思想等，以不同的形式渗透在各模块或专题内容之中.因此，为了数学教育能够适应现代社会对人才的需求，需将数学“双基”发展成“四基”，即基本知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验.所以形成数学思想，能用数学模型的思维来解决问题，历来都是中学数学课程教学目标之一.

4 数学模型思想应用举例

为更好强调数学建模思想在数学教与学中的重要价值，现列举几个数学教学实例：

实例1上面所提的哥尼斯堡“七桥问题”，数学家欧拉显示出大数学家的智慧，把原型问题简化，去掉不必要因素，比如桥的长度，从而把被河流隔开的四块区域缩成4个点，七座桥就被看成连接4个顶点的七条边.这就得到一个数学模型，即为4个顶点、7条边的图，原问题即被抽象成：能否找到一条起点与终点重合，并且经过每条边一次且仅一次的一条回路.从而这就极大方便了此问题解决.这就是1736年欧拉所贡献的图论中最基本的欧拉回路问题，体现出了数学模型思想在数学创新中的巨大作用.

实例2近几年高考题目更加突显出其应用性和问题设计的新颖性和创造性，方兴未艾的新课改在时时刻刻提醒着我们“思路决定出路”.2011年广东高考数学试题(理科)第13题：某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，则该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.这个普通的生活问题其实就是一道一元线性回归分析问题，我们的解答思路是将这生活原型转化为数学模型进行解答.

面对上面这一实际问题，我的思路是：在一组具有相关关系的变量数据（X与Y）间，我们通过相关图可观察出所有数据点都分布在某条直线的附近，这样的直线可以画出许多条，而我们希望其中的一条最好反映出X与Y之间的关系，即我们所要找出的那条直线“最贴近”已知的数据点.这直线就是回归模型直线，因为模型中有残差，并且残差无法消除，所以就不能用二点确定一条直线的方法来得到直线方程.但是要保证尽量多的实测点都聚集在所要的回归直线l上，这就需要数据点到直线l的距离的平方和最小.所以，只要有了这样思想，所要的最好的拟合直线l就不难找到吧.

实例3经假设、简化、抽象、计算等手段,对变速运动与曲边梯形面积（原型）的研究，创立了微积分这个数学模型,并用此模型,解决了诸如变速运动的速度、曲线的切线和弧长、曲边平面圆形的面积以及不规则几何体的体积等一系列的现实问题.可以说，微积分这个数学模型,开创了研究变量数学的新纪元,微积分的发明本身也是数学建模思想成功的一个光辉典范.

当然，中小学的列方程解应用题；构成函数模型来研究实际问题；《线性规划》中由实际问题列出约束条件得线性方程组，由此再讨论由问题得到的目标函数的最值，从而达到原问题所要的最优化设计；等等这些均是现实原型转化为数学模型的思想的具体表现.

实例4聚会总人数超过或等于6人，证明：其中至少有3人互相认识，或者互相不认识.（1947年匈牙利数学竞赛题）

有数学思想的人与没有数学思想的人之间有截然不同之处，前者能把一个说起来模模糊糊的问题变成一个非常清楚、确切的问题.现就把原问题（原型）抽象化：6个人用6个点表示，每两个人之间的关系用连接点的不同颜色的线表示，不妨设红线h表示认识，蓝线l表示不认识.这样就得到了由这6个顶点，且每两个顶点之间用h或者l连接的共15条线构成的图.从而原问题自然就变成：证明这个图中至少存在一个三边同色的三角形.通过这个图就把原问题变成每个人都能听清楚的确切的数学问题.

实例5德摩根定理是集合论中一个非常重要的定理，在随机事件的概率计算中，有着十分重要的作用，但学生对定理的理解、记忆都不是很轻松，若构造直流电路图辅助说明，把数学模型转换为原型，既直观又浅显，方便学生记忆理解.

总之，数学思想是解决数学问题的心智，它总是指向问题的变换，最终达到掌握问题对象的数学特征、关系结构等目的.因此数学创新、解题的思维过程其实是数学问题转变的过程，也是数学原型与数学模型之间的相互转变过程.

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2016-11-27

云南省教育厅科学研究基金项目资助（2014Y499）