朱鹏翚

（安徽大学江淮学院，安徽合肥230000）

关于连续函数极值求法的分析

朱鹏翚

（安徽大学江淮学院，安徽合肥230000）

无论是在自然科学中还是社会科学中，都存在较多的函数极值问题.连续函数极值，就是连续函数在一定区域内的极大值和极小值.而连续函数可以被划分为一元连续函数和多元连续函数，在极值求取时则可以进行分别讨论.基于这种认识，本文在解释连续函数和极值定义的基础上，分别对一元连续函数和多元连续函数的极值问题进行了分析，并提出了连续函数的极值求法，以期为关注这一话题的人们提供参考.

连续函数；极值；求法

在自然界中，气温变化、植物生长等现象在函数关系上的反映就是函数的连续性.而在现实社会的各个研究邻域，连续函数极值问题也都得到了广泛研究.其中，一元函数和二元函数与实践有着紧密联系，所以得到了更多研究.但实际上，多元连续函数也能够得到应用，所以也应对其极值求解问题展开分析.因此，还应加强连续函数极值求法的分析，以便更好的解决连续函数的极值问题.

1 连续函数及极值的定义

1.1 连续函数

从定义上来看，假设函数f(x)在点x0邻域内存在定义，并且满足，就可以认为函数在该点连续，并且将该点当成是函数的连续点.假设该函数在(a,b]内有定义，并且在x=b左极限存在f (x)=f(b)，则函数在点b左连续.假设该函数在[a,b)内有定义，并且在x=a右极限存在f(x)=f(a)，则函数在点a右连续.假设该函数在(a,b）内有定义，并且在a点和b点连续，可认为函数在[a,b]整个定义域内连续，因此可以认为函数为连续函数[1].由上述定义可知，想要使函数在某点连续，应确保其在该点左右都连续.

由极限的定义，可以将上述定义转化为另一个定义，即假设x从初值x1变到终值x2，其在x1处的增量为△x=x2-x1.而△x既可以为正数，也可以为负数.在变量发生变化的条件下，函数值也随之变化，得到的增量为△y.如果△x=x-x0，可以将x→x0等价为△x→0，因此.结合极限定义，可知|f(x0+△x)-f(x0)|=|△y|，可得函数连续另一个定义.由这一定义可知，在自变量在某点的增量无限接近0时，函数值增量也无限接近0，因此可以说明函数在该点连续.

1.2 函数极值

极值的概念，实际上就是数学应用中的最大值和最小值问题.在数学概念中，函数的极大值与极小值被一同称为函数的极值.假设在x0附近存在函数f(x)，并且该函数有定义.如果函数在x0的去心邻域中存在f（x）＜f（x0），可认为f(x0)为函数的一个极大值；如果函数在x0的去心邻域中存在f（x）＞f（x0），可认为f(x0)为函数的一个极小值，因此函数对应的极值点为x0.而极值点就是函数取得极值的点，在有界区域上的连续函数应存在最大值和最小值，但是如何确定函数在哪些点取得最大值或最小值却是值得考虑的问题.如果极值点不为边界点，就一定为内点，所以还应考虑内点成为极值点的必要条件.假设函数的某一点在一个邻域中，并且函数在该邻域中每个点都存在定义，同时该点函数为最大值或最小值，说明该点为函数极值点.如果该点的函数值比邻域内其他各点的函数值都大或都小，说明该点为极值点[2].此外，在极值点的左右，函数有不同的增减性.假设极值点左方邻域内函数呈单调递增，右方就为单调递减.从函数图像上来看，极值点为极大值或者极小值点的横坐标.但是，极值虽然为函数在一个区间内的取值，却不一定为整个函数定义域内的最大值或最小值.

2 连续函数极值问题的提出

在连续函数极值求解方面，多数研究都集中在一元连续函数和二元连续函数的极值问题分析上，多利用求导方法进行函数极值点的判断，然后进行函数极值求取.但在现实生活中，三元以上连续函数极值问题也将给人们探索极值问题带来了困扰.而根据连续函数在极值点的微分特征，不仅能够对一元连续函数和二元连续函数的极值点进行确定，还能进行三元以上连续函数极值的求取.因此，还应从微分角度对连续函数的极值问题展开分析，以便完成连续函数极值求法的总结和分析.

2.1 一元连续函数极值问题

在求解一元连续函数的极值问题时，还应先确认极值存在的第一充分条件.即设f(x)在x0处连续，并在其去心邻域U（x0）处可导，则可以得到：

若x∈(x0-δ，x0)时，f'(x)＞0，x∈(x0，x0+δ)，f'(x)＜0，则x0处的f(x)值极大；若x∈(x0-δ，x0)时，f'(x)＜0，x∈(x0，x0+δ)，f'(x)＞0，则x0处的f(x)值极小；若x∈(x，δ)时，f'(x)符号没有变化，则不存在极值.

从可微角度分析一元连续函数的极值问题，一元函数的极值点可能为驻点或不可导点，假设x=x0，函数在点x的去心邻域内可导，而△x为函数在点x0处的增量，其为负增量时x0+△x为左邻域点，反之则为右邻域点.为简化问题的分析，可假设函数自变量微分dx与△x拥有相同正负符号，所以在点x0+△x上存在dy=f'（x0+△x）△x.

首先，如果x0为函数极大值，则会在该点形成图像上凸情况，函数左邻域将严格递增，可得dy＜0.同时，函数右邻域将严格递减，dy＜0，因此在极大值点去心邻域内的任意一点，函数微分dy均为负值.

其次，如果x0为函数极小值，则会在该点形成图像下凹情况，函数左邻域将严格递减，可得dy＞0.同时，函数右邻域将严格递增，dy＞0，因此在极大值点去心邻域内的任意一点，函数微分dy均为正值.

再者，如果x0不是函数极值点，在x0的某邻域内，该点两侧函数拥有相同单调性，所以可得dy≥0或dy≤0.由于假设自变量微分为正负，所以dy可能为正数、负数或零.

通过综合分析可以发现，对于一元连续函数来讲，x0为驻点或不可导点，△x为足够小的增量，使得函数在x0的去心邻域中可导.如果△x为负增量，x0+△x为左邻域点，反之则为右邻域点.在该邻域内，任意一点x0+△x的微分dx都有对应△x.若dy＜0，可得x0为极大值点；若dy＞0，可得x0为极小值点；若微分dy可能为正值、负值或零，可得x0不是函数极值点.由此可见，极值点出现在函数的驻点或不可导点处.

2.2 多元连续函数极值问题

在多元连续函数极值问题分析方面，二元连续函数极值问题是常见问题.从空间图像角度来看，二元连续函数为连续曲面，极值点应为驻点或不可微点.但是，这些点却并不一定是二元连续函数的极值点[3].在极值点的位置，二元连续函数图像同样会出现向极值点挤逼的情况，所以该点的图像会是上凸或下凹形状.如果二元连续函数的驻点或不可微点处的图像未出现这些现象，说明这些点不是极值点.由于二元连续函数单调性分析较为复杂，所以可以利用函数微分进行极值点的分析.在极值点的去心邻域内，各点对应函数值应均比极值点大或小.因此，针对极值点的某可微去心邻域，其中任意点都能通过约定自变量微分确定其属于负值或正值.比如针对极大值点的可微去心邻域，就可以认定任意点自变量微分为负值[4].针对极小值点的可微去心邻域，可认定任意点自变量微分为正值.针对非极值点可微去心邻域，可知任意点自变量微分无法确保正负一致.

在求解二元连续函数的极值问题时，还应先确认极值存在的第一充分条件.即设z=f(x，y)在(x0,y0)的去心邻域有一阶和二阶连续偏导数，且满足fx (x0,y0)=0和fy(x0,y0)=0，需要令A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)，则可以得到：AC-B2＞0时，存在极值，若A＜0，存在极大值，若A＞0，存在极小值；若AC-B2＜0，则不存在极值；若AC-B2=0，则不确定是否存在极值.

从可微角度分析一元连续函数的极值问题，应假设二元连续函数z=f(x,y)的驻点或不可微分点为（x0,y0），该点处任意足够小的自变量x,y的增量分别为△x和△y，使函数在该点的去心邻域内可微[5].约定附加条件：函数在点（x0+△x,y0+△y）处微分取△x和△y，所以该区域任意点微分为dz=f'x（x0+△x,y0+△y）△x+f'y（x0+△x,y0+△y）△y.在dz小于0的条件下，点（x0,y0）为函数极大值点；在dz大于0的条件下，点（x0,y0）为极小值点；在dz的值不确定的条件下，点（x0,y0）不为极值点.

针对三元以上连续函数，也可以采用类似的方法进行极值问题的分析.例如针对三元连续函数u=f(x,y,z)，驻点或不可微分点为（x0,y0,z0），该点处任意足够小的自变量x,y,z的增量分别为△x、△y和△z，使函数在该点的去心邻域内可微.约定附加条件：函数在点（x0+△x,y0+△y，z0+△z）处微分取△x、△y和△z，所以该区域任意点微分为du=f'x（x0+△x,y0+△y,z0+△z）△x+f'y（x0+△x,y0+△y,z0+△z）△y+f'z(x0+△x,y0+△y,z0+△z)△z.在du小于0的条件下，点（x0,y0,z0）为函数极大值点；在du大于0的条件下，点（x0,y0,zo）为极小值点；在du的值不确定的条件下，点（x0,y0,z0）不为极值点.

3 连续函数极值求法分析

3.1 一元连续函数极值求法

在实际进行一元连续函数单变量函数的极值求解时，可以采用一阶导数进行函数可能极值点的求取，然后利用一阶导数完成函数在这些点的两侧单调性的判断.具体来讲，就是先求导数f'(x)，然后求方程f"(x)=0的根，最后检查f'(x)在函数图象左右的值的符号[6].经过检查，如果左正右负，可得函数这个根为极大值点.如果出现左负右正的情况，函数的这个根为极小值点.另外，也可以借助二阶导数在驻点的取值情况进行函数必然极值点的确定，以完成函数极值的求解.

例1已知函数y=f(x)=(x2-1)3+1，求函数极值.

解：f'(x)=6x(x+1)2(x-1)2.由f"(x)=0，可得函数有-1、0和1这三个驻点，无可导点.在x0+△x处，如果x0=-1，则dy=6（△x-1）（△x-2）2△3x.在增量△x为正，并且小于1的条件下，dy小于0；在增量△x为负的条件下，dy大于0；因此dy可能为正值或负值，-1不是函数极值点.如果x0=1，则dy=6（△x+1）（△x+2）2△3x.在增量△x为正，并且小于1的条件下，dy大于0；在增量△x为负的条件下，dy小于0；因此dy可能为正值或负值，1不是函数极值点.如果x0=0，则dy=6（△x+1）（△x-1）2△3x＞0，因此0是函数极值点.经过计算，函数极小值为0.

由此可见，连续函数的极值点必为函数驻点，函数驻点却不一定为函数极值点.因此，想要求解一元连续函数的极值时，还要对求导无意义的点进行讨论.在实际求解时，还要先将dy=0的根和无意义点进行求解，然后将这些点列为可疑点，并利用极值点定义进行判断[7].

3.2 多元连续函数极值求法

针对二元连续函数，在求取极值时还要利用一阶导数完成驻点求取，然后利用其连续的二阶偏导数对驻点的取值情况进行分析，以实现驻点是否为极值点的判断.具体在分析过程中，假设二元连续函数z=f(x,y)，应先设f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0，然后进行所有实数解的求取，以获得一切驻点.针对各驻点(x0,y0)，应进行二阶偏导数值的求解[8].根据二阶偏导数值的正负，可判定f(x0,y0)是否是极值，从而确定函数的极值点.

例2已知函数z=f(x,y)=x3+y3-3xy，求函数极值.

解f'x(x,y)=3x2-3y,f'x(x,y)=3y2-3x.由f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0，可得函数有（0,0）和（1,1）这两个驻点，无不可微点.在（x0+△x,y0+△y）处，如果x0=y0=0，则dz=3（△x-△y）2+3△2x（△x+1）+3△2y（△y+1）.在增量△x大于-1，并且△y也大于-1时，dz大于0，所以（1,1）是函数极小值点.经过计算，该二元连续函数的极小值为-1.

采取一元连续函数和二元连续函数的极值求法，同样也可以求解多元连续函数极值问题.例如，在求解三元连续函数的极值时，可以先进行函数一阶偏导数的求解[9].而通过计算可以发现，该函数无驻点，但存在（0,0,0）这一不可微点.为判断该点是否为函数极值点，还应在任意点（x0+△x,y0+△y，z0+△z）处进行微分du的计算.经过计算可得，du大于零，所以该点为函数的极小值点，函数极小值则为0.

4 结论

极值作为函数的一个重要性质，得到了广泛应用.而在实际应用连续函数极值时，还应掌握极值的求法，才能真正利用函数极值求解实际问题.从本文的分析来看，在求解连续函数极值问题时，由于极值点应为驻点或不可微点.所以可以通过求导进行函数极值点的判断，然后进行函数极值求取.采取该种方法，不仅能够完成一元连续函数和二元连续函数的极值求取，也能解决三元以上连续函数的极值求取问题.

〔1〕揭勋.借助微分探求连续函数的极值点[J].广东技术师范学院学报,2016（05）:6-8.

〔2〕李颖颖.连续函数在不可导点极值状况的图像解析[J].科技信息,2010（32）:118-119.

〔3〕李江华.关于一致连续的判定与应用[J].赤峰学院学报(自然科学版),2015（22）:1-2.

〔4〕钱伟懿.函数一致连续证明方法研究[J].渤海大学学报(自然科学版),2011（04）:295-298.

〔5〕胡吉卉,吴莺,刘继成.概率密度函数连续和不连续两种不同假设下的解题比较[J].大学数学，2016（03）:106-110.

〔6〕陈宇.函数极值的求法及其在经济管理中的应用[J].教育教学论坛,2016（27）:199-200.

〔7〕王玉红.函数的极值及其应用[J].科教导刊(中旬刊),2014（11）:63-64.

〔8〕赵泽福.函数极值思维在企业营销中的应用[J].赤峰学院学报(自然科学版),2015（08）:9-11.

〔9〕王洪涛.函数极值在经济管理中的应用[J].山东广播电视大学学报,2011（02）:65-69.

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2016-11-26

池州市非金属材料研究中心项目(XKY201406)