福建 黄清波

(作者单位：福建省南安市国光第二中学)

三法并举，破解立体几何题

解答立体几何问题主要有三种方法：综合法、坐标法和向量法.“三法”的准确定位应该是并举！即不宜人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析.本文以2016年高考全国新课标卷Ⅰ理科第18题第(Ⅱ)问的求值问题和2016年高考全国新课标卷Ⅲ理科第19题第(Ⅰ)问的证明为例展开，谈谈对“三法”的几点认识，希望对大家今后在立体几何学习、复习中能够受到一定启发.

【例1】(2016·新课标Ⅰ理·18)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°．

(Ⅰ)证明平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值．

解法探究

本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，难度适中.对于第(Ⅰ)问由已知易知AF⊥FE，AF⊥FD，得AF⊥平面EFDC，且AF⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC.本文主要研究第(Ⅱ)问，运用所学知识，从三种不同的视角进行思考．

1.综合法

【分析】根据题意，设法找出二面角的平面角，把问题转化为常规二面角的求解.本题所求二面角是一个钝角，不好直接找，可通过补形，易得该二面角的补角，从而求出该二面角的余弦值.

【评注】在证明与指数式有关的不等式时，用二项式定理可将指数式转化成多项式.

【结语】在利用放缩法证明不等式时,要根据不等式两边的特点进行恰当放缩,任何不适宜的放缩都会导致推证的失败.

(作……