沈国酰

摘 要：数学建模思想在替换策略教学过程中表现得尤为突出。只有真正明确为什么替换、替换的共性、从特殊到一般的应用等，才能将数学建模思想落在实处，让学生易于理解与掌握。

关键词：替换策略；数学建模思想；落实

建模思想在数学教学中十分重要，是小学数学解决问题教学的方向。建模是主要针对传统数学教学的抽象化，忽视数学知识脱离学生现实生活而提出的。然而，现实数学教学过程中，部分教师没有透彻地领会数学建模思想的意义，在平时的解决问题教学中，往往停留在建模的表层，没有深入到建模的本质，教学效果大打折扣。本文主要以苏教版小学数学“解决问题的策略（替换策略）”为例，通过比较、分析一位执教老师修改前后的教学设计片段（下简称“初备片段”和“再备片段”），说明如何将数学建模思想落到实处。

一、数学建模的实质：从“怎么换”到“为什么换”

【初备片段一】

师：（课件出示2架天平图，图1天平平衡，左盘有1个苹果，右盘有2个梨；图2天平平衡，左盘有1个苹果和2个梨，右盘是400克的砝码）（指图1）仔细观察这架平衡的天平，左盘装有苹果，右盘装有梨，请大家思考：从这架平衡的天平上，你能发现一个苹果与一个梨的质量存在哪种关系？

生：一个苹果的质量等于2个梨的质量，或者一个梨的质量是1个苹果质量的一半。

师：很好，即1个苹果质量是1个梨的2倍。你能求出它们各自的质量吗？

学生回答：1个苹果重200克，1个梨重100克。

师：能说一下你是怎样思考的吗？

生1：我是这样想的，可以把图1左盘中的那个苹果换成2个梨，这样可以推算出4个梨的质量是400克，一个梨的质量是100克，进而推算出一个苹果的质量是200克。

生2：我与他的想法基本一样，但我是将图2左盘中的2个梨换成1个苹果，可以看出，2个苹果的质量是400克，1个苹果的质量是200克，很容易地算出1个梨质量是100克。

依据学生的回答，教师随时用课件动态演示上述两个学生的思考过程。

师：刚才同学们用的是“换一换”的方法，这在解决数学问题过程中非常重要，这种策略通常被称为“替换”。同学们都读过“曹冲称象”的故事，1700多年前，曹冲小朋友就已经会用这个“替换的策略”了。（课件出示曹冲称象的图）

师：曹冲是怎么称大象的质量的？

生：是用石头替换大象。

【再备片段一】

师：（课件出示3幅天平图）请同学们仔细观察三幅天平图，说一说你分别能求出什么？

生：能求出第一个天平的每个苹果重150克，因为2个苹果重300克；第二个天平上5个橘子重600克，所以能求出每个橘子重120克；第三个天平上6个x重1200克，能求出每个x重200克。

师：观察得很仔细，说得也很好。同学们，有没有发现这三幅图有什么相同之处？

生：这三幅图都是求一个东西的质量是多少？

师：好，在数学上，我们把同一种东西又称为“同一种量”。对同学们来说，像这样求一种量的每份是多少，十分简单。（出示另一幅天平图）请大家仔细观察，现在的天平与刚才的三幅有什么不同？

生：现在天平左盘装有1个梨和1个苹果，右盘是240克的砝码，说明1个梨和1个苹果共重240克。

师：有谁能推算出1个梨和1个苹果分别重多少克吗？

生：不能，现在是两个不同的东西了。

师：说得好。两个不同的东西在数学上又可称为两种不同的量。那你们想想怎么才能求出1个梨和1个苹果分别重多少克呢？

生：如果知道苹果的质量是梨的几倍就可以把苹果变成梨了。

师：是呀，这样又可以变成同一种量了。

师：由于提供的信息不同，替换的方法也不相同，但它们有一个共同之处，你发现了吗？

生：就是把不同的量换成同一种量。

【分析】

比较“初备片段一”和“再备片段一”这两个教学片段，可以发现初备和再备的教学都是从学生熟悉的生活经验出发，让学生经历从现实生活发现数学问题并解决的过程。然而，对于“替换”策略的教学，初备和再备存在着明显的不同。“初备片段一”的教学设计重点在于“怎么换”，直接使用两架天平图，让学生观察、发现存在的数量间的相等关系，然后进行等量代换，感知数学中的“替换”策略，后面附以“曹冲称象”的故事，再次加深学生对运用“替换”解决实际问题的印象。

而“再备片段一”的设计重点在于不仅强调替换方法的重要性，更让学生知道“为什么替换”。教学片段中，通过设置四幅天平图，让学生充分理解“替换”的本质，即由两种量转化为一种量，强化所建立的数学模型与学生脑中已有的数学模型存在的必然联系。

二、数学建模的理解：从“换的方法”到“换的共性”

【初备片段二】

出示例题：小明将720毫升果汁分别倒入6个小杯和1個大杯，大小杯都被倒满。已知小杯容量是大杯容量的，大杯和小杯的容量分别是多少？

师：读题后，你能直接求出大杯和小杯各自的容量是多少毫升吗？

学生思考后回答直接求是不行的。

师：思考一下，用刚才的替换策略能解决吗？请大家在练习纸上画出替换简图，然后列式解答，求出小杯和大杯的容量，最后和同桌进行交流。（学生画图、列式、计算、交流）

师：两种替换方法都能解决这个问题。替换策略真的可以帮助我们解决数学实际问题，请同学们思考一下，如果把例题中的一个条件改成“大杯的容量比小杯多20毫升”，还能替换吗？（学生纷纷猜测、画图、解决、交流）

学生汇报：用小杯替换大杯时，果汁总量增加，增加了720-6×20=840毫升；用大杯替换小杯时，果汁总量减少，减少了720-20=700毫升。

师：改变条件后的例题与原例题在做法上出现了什么不同？

学生总结：从上面的替换过程中可以看出，假如条件存在着倍数关系，那么替换后，杯子的总个数出现了变化。但是假如条件存在着相差关系，替换后，杯子的总个数却没有发生变化。

师：是啊，数学奥妙无穷！在“变”与“不变”中有着千丝万缕的内在联系。

【再备片段二】

师：（课件出示：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，结果全部倒满）请大家思考：如果想知道小杯的容量和大杯的容量，你认为还需要什么信息，怎么来解决？

生：还需要知道大杯和小杯的容量存在的关系。

师：能具体说一说要知道大杯和小杯的容量存在什么关系吗？

生：比如大杯的容量是小杯几倍，或者大杯的容量比小杯多几毫升等等。

师：老师提供两个关系：“小杯的容量是大杯的”和“小杯的容量比大杯少20毫升”。现在请同学们思考，要用什么方法解答这两个问题？请比较两种替换的不同点与相同点。（学生解答后交流汇报）

生：相同点是，不论大杯和小杯存在何种关系，都要把两种量替换为同一种量，才能解决问题。

【分析】

仔细分析“初备片段二”和“再备片段二”，容易看出两次的教学设计环节存在着共同点，就是在解决问题后，通过比较替换的方法强化对“替换”策略的理解。然而深入分析便发现两者存在明显的不同：“初备片段二”的设计，主要侧重于让学生比较替换方法的不同，即比较条件是倍数关系的替换和条件是相差关系的替换，前者杯子的总个数出现变化，后者杯子的总个数没有变化；而“再备片段二”的设计，不但让学生比较替换方法的不同，更让学生充分理解倍数关系的替换和相差关系的替换存在的共性，即把两种量转化为同一种量，切实把握住了用替换策略解决问题的本质。

三、数学模型的价值：从“特殊→特殊”到“特殊→一般”

【初备片段三】

出示三幅天平图，学生读图，图1天平的左盘放1个苹果，右盘放2个梨；图2天平的左盘放4个梨，右盘放1个菠萝；图3天平的左盘放1个苹果和1个菠萝，右边托盘是问号，不知要放什么。

师：如果让你在图3天平右边托盘中只放一种水果，注意是一种，你将怎样放？

生：在右边托盘中可以放3个苹果，或者6个梨，或者1.5个菠萝。

师：太好了。假如是放两种水果呢？

生：放两种水果，可以是2个苹果+2个梨，或者4个梨+1个苹果，或者是2个梨+1个菠萝。

师：同学们很聪明，能很快地说出答案。假如天平右边的托盘中是600克的砝码，这时天平达到平衡。你能推算出1个梨、1个苹果和1个菠萝各自重多少吗？（学生解决、交流汇报略）

【再备片段三】

师：课前我们讨论了船长的年龄问題，大家知道只根据牛羊的数量无法求出船长的年龄。如果添加一些数学信息，你能选用其中的信息算出船长的年龄吗？（课件出示：A. 船长和大副的年龄加起来105岁；B. 羊的平均年龄是3岁；C. 船上有1名船长，1名大副，5名船员；D. 最老的牛是5岁；E. 船长的年龄是大副的1.5倍；F. 大副比船长小21岁）

学生分组讨论，分别选A和E或者A和F，并用替换的方法解决问题、汇报结果。

师：数学信息不论有多复杂，只要理清信息之间的关系，问题就变得简单。同学们很好地用替换的方法解决了一些数学问题。说一说为什么要替换，替换时要注意什么？

生：替换都是把两种不同的量转化为同一种量，最终求出每种量分别是多少的方法。

师：如果问题中有两种以上不同的量，比如三种、四种、甚至更多，你又如何去解决呢？

生：理清这些量之间的关系，替换成同一种量逐个解决。

【分析】

数学建模的重要一环是通过建立数学模型，达到解释、应用与拓展的目的，即让学生应用模型解决实际问题，明确数学模型能够解决何种问题，感悟数学模型的价值，而不是单纯地让学生对模型的方法进行模仿或简单应用。“再备片段三”的设计真正实现了数学建模的意图。求船长的年龄问题设计，除了让学生知道能用数学模型解决一些实际问题，还要让学生清晰理解这类问题的数学模型结构，即要求两种不同的量，必须知道这两种量之间的关系，更重要的是让学生经历了用这个模型来解决更一般的问题，实现了“从特殊到一般”的拓展。而“初备片段三”的设计虽然也是对替换方法的应用，但这种应用只是“从特殊到特殊”的过程，没有很好地进行模型应用的拓展。

四、效果测评比较：从“勉强解决”到“得心应手”

当学习完并形成关于替换问题的数学模型后，进入巩固应用阶段。“初备”和“再备”的练习题是一样的。练习题设计如下：（1）2辆大客车和5辆小客车，正好载满100人，每辆大客车比每辆小客车多载8人，每辆大客车和每辆小客车各载多少人？（2）小华购买了3个数学本和1个铅笔刀共10.8元，一个铅笔刀的价格是一个数学本的6倍，求数学本和铅笔刀的单价各是多少？

在“初备”的课堂教学中，当练习题逐个出示后，只有少数学生能够独立解决，绝大部分同学经过讨论后得以解决，说明了数学模型在同学们头脑中建立得并不是太牢固，或者说并没有真正建立。遇到类似问题只是能“勉强解决”。

而在“再备”的课堂教学中，当出示这两个练习题后，绝大多数学生几乎异口同声地回答道：第一题属于相差关系的等量替换，第二题属于倍数关系的等量替换。学生们能够正确地将两题区分开来，说明在他们的头脑中已经建立起了这两种替换的数学模型。更重要的是，学生在运用数学模型解决这两道题时，还能发现，“载得多的”和“价格贵的”可以看作“大的”，而“载得少的” 和“价格低的”可以看作“小的”。明显看出，同学们运用刚学过的数学模型解决此类问题时变得更加“得心应手”了。