☉浙江省杭州市余杭实验中学 王国军

一道课本习题的探究及思考

☉浙江省杭州市余杭实验中学 王国军

一、背景

著名数学教育家波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”学生的思维是灵动的和多向的，教师要不断地激发他们的兴趣，拓展他们的思维空间，使他们的潜能得到最大限度的发展.而对课本习题进行变式探究是一条十分有效的途径.通过改变条件，让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析；通过改变结论等培养学生推理、探索的能力；通过推广引申，使学生在深入探究中认清问题的本质.这些变式探究可以培养学生的发散思维能力，使学生的认知能力得到较大地提高，有效地提升学生的数学思维能力.下面笔者以一道解析几何题为例，谈一谈变式探究的方法和自己的教学思考.

二、题目

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），试探求顶点C的轨迹.（新人教A版高中课本选修2-1第80页复习参考题A组第10题）

三、探究过程

在讲这道题目之前，我让学生预习了这道题目，许多学生运用直接法顺利地完成了解答.

解：设顶点C的坐标为（x，y），

化简，得mx2-y2=25m（x≠±5，m≠0）.

分类讨论如下：

（1）当m=-1时，得x2+y2=25（x≠±5），此时C的轨迹是圆心在原点，半径为5的圆（不含A和B两点）；

讲完这道题后，我试着问学生：分类（1）反过来成立吗？……