☉浙江省玉环县玉城中学蒋克于 张夏飞

例谈高考中对正、余弦定理的考查

☉浙江省玉环县玉城中学蒋克于 张夏飞

正、余弦定理是揭示三角形边角关系的两个重要定理，它将三角形的边角巧妙地结合在一起，主要作用是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关系，使问题得以解决；在解题中有着广泛的应用，是高考中的常考知识点，下面介绍正、余弦定理在解题中的一些应用，供参考.

一、判断三角形的形状

正、余弦定理是三角形边、角的混合关系，用定理能将已知条件转化为纯边（或纯角）的关系，从而判断三角形的形状.

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

所以sinAsinB（sinAcosA-sinBcosB）=0，

又A，B∈（0，π），所以sinA≠0，sinB≠0.

所以sin2A-sin2B=0.

因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.

即a2sinBcosA=b2sinAcosB.

即（a2-b2）（a2+b2-c2）=0，

所以a=b或a2+b2=c2.

因此△ABC为等腰三角形或直角三角形.

判断三角形形状，通常用两种常用方法：1.统一转化为纯角，再判断（如解法1）；2.统一转化为纯边，再判断（如解法2）.

二、解斜三角形中的有关问题

解三角形是指已知两边一角（或二角一边或三边），求其他三个元素问题的过程，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题.

由正弦定理，求出b及c，或整体求出b+c，则周长为3+b+c而得到结果；由于本题是选择题，也可用特殊化的办法求解，取△ABC为直角三角形，则周长应为，故排除A、B、C.而选D.

解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，同时合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系等，解题时应注意用哪一个定理更方便、简捷.

三、解决与三角形面积有关的问题

例3△ABC的内角的对边分别为a，b，c，已知a= bcosC+csinB.