☉湖北省孝感高级中学 李志红

例谈数列求和的几种方法

☉湖北省孝感高级中学 李志红

数列求和具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，是数列问题中的基本题型，问题技巧性很强，对同学们来说难度较大.不过，只要弄清规律，数列求和问题便可迎刃而解.本文将通过例题简单介绍数列求和的一些基本方法.

一、直接用公式法求和

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和，除了等差、等比数列的前n项和公式以外，还要常用公式也应当熟记：

还要记住一些正整数的幂和公式：

例1已知等差数列｛an｝中，a3a7=-16，a4+a6=0，求其前n项和Sn.

解：因为a4+a6=a3+a7，则a3a7=-16，a3+a7=0，

所以a3=4，d=-2或a3=-4，d=2.

所以数列的前n项和是Sn=n2-9n或Sn=-n2+9n.

二、通项公式法求和

利用通项公式写出数列各项，进而将其和重新组合为可求数列的和.

例2求5，55，555，…的前n项和.

三、裂项相消法求和

把数列的通项拆成两项之差，an=bn-bn+m，n，m∈N，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

例3若｛an｝是各项均不为0的等差数列，求证：

证明：设等差数列｛an｝的公差为d.若d=0，要证结论显然成立；若d≠0，得

四、倒序相加法求和

如果一个数列｛an｝直接求解很困难，它的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法.

例4求包含在正整数m与n（m＜n）之间的分母为7的所有不可约分数之和.

五、错位相减法求和

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数……