☉浙江省宁海县知恩中学 王丽亚

例谈三角函数试题的求解策略

☉浙江省宁海县知恩中学 王丽亚

近几年来，各省高考对三角函数部分的考查，在内容、题量、分值三个方面保持稳定的同时，加重了对三角函数性质的考查，难度适中.这样的命题意在考查学生的计算能力、演绎推理能力、综合应用知识解决问题的能力以及数学思想方法的应用，激发了学生进一步学习的潜能.对应思想作为数学中的一个重要思想，近几年来不断在高考三角函数图像与性质的相关问题中出现，成为高考题型中的一个创新.笔者根据近几年的教学实践，总结了一些解决三角函数题时的基本方法，仅供参考.

一、利用导数巧解三角函数题

导数是研究函数性质的一个很重要的工具，利用导数可以很容易解决函数的极值、最值和函数的单调性等问题.三角函数作为一种特殊的函数，导数这个工具自然也适合三角函数.

1.利用导数求三角函数值

我们知道，形如y=Asin（ωx+φ）+k（y=Acos（ωx+φ）+ k）的三角函数f（x）对称性有其特殊性：对称轴x=x0处必为极（最）值点，从而f′（x0）=0.

常规解法此略，运用导数解此题：

2.利用导数证明三角恒等式

例2证明：sin2αsin2β+cos2αcos2β-

分析：本题若采用常规的三角函数的化简方法，都比较复杂.考虑到要证明的结果是一个常数，我们只需把左边看成α或β的函数，证明该函数的导数恒等于零，然后取一个特殊角求出这个常数即可！

证明：构造函数f（α）=sin2αsin2β+cos2αcos2βcos2β.

求导数得f′（α）=2sinαcosαsin2β-2cosαsinαcos2β+ sin2αcos2β=sin2α（sin2β-cos2β）+sin2αcos2β=-sin2αcos2β+ sin2αcos2β≡0，

故f（α）为一常数，

而f（0）=cos2β-

所以sin2αsin2β+cos2αcos2β-

3.利用导数求三角函数的……