存在基数约束的投资组合效率评价方法

2017-03-14周忠宝金倩颖曾喜梅刘文斌

中国管理科学 2017年2期

关键词：样本量基数分段

周忠宝，金倩颖，曾喜梅，吴乾，刘文斌,2

(1. 湖南大学工商管理学院，湖南长沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

存在基数约束的投资组合效率评价方法

周忠宝1，金倩颖1，曾喜梅1，吴乾1，刘文斌1,2

(1. 湖南大学工商管理学院，湖南长沙 410082；2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE)

采用数据包络方法(DEA)评价投资组合效率的前提是有效前沿面为连续凹函数，然而存在基数约束的投资组合有效前沿面可能是非凹且不连续的函数，直接运用DEA方法对其进行评价是不合理的。本文首先给出了存在基数约束的投资组合效率的定义，考虑到其有效前沿面是由有限个连续凹函数分段构成的，提出了一种分段点搜索算法，构建分段DEA模型来评价投资组合效率。仿真分析表明，随着样本量的增加，本文提出的搜索算法得到的样本分段点逼近于真实分段点，分段DEA前沿面逼近于真实前沿面，DEA效率与真实效率相关性逐渐增大，从而说明了本文方法的可行性和有效性。

投资组合效率；基数约束；有效前沿面；分段点搜索方法；数据包络分析

1 引言

在现代金融研究领域，投资组合优化和评价是一个热点问题[1-3]。1952年，美国经济学家Markowitz提出的均值-方差(Mean-Variance Model)模型[4]，开创了现代投资理论的新纪元，该理论现已发展为现代投资组合理论的核心[5-6]。

经典的均值-方差模型存在着诸多不足，其中很重要的就是实际投资组合中资产数量是存在限制的(基数约束)。Chang等学者在经典均值-方差模型中引入投资组合所含资产数量限制，从而建立考虑基数约束的均值-方差模型(Cardinality Constrained Mean-Variance Model)[7]。Fieldsend和Matatko和Anagnostopoulos等学者基于经典的均值-方差模型建立了多目标基数约束投资组合优化模型，并通过实例说明了多目标引入的重要性[8-9]。由于考虑基数约束的投资组合优化问题是混合整数二次规划问题，真实前沿面的解析解难以获得。目前求解基数约束问题的方法主要分为两类，一种是采用放松约束条件或者目标函数来逼近原问题从而得到解析解，另一种是采用启发式算法解决基数约束问题。Li Duan等学者[10]提出一种拉格朗日和Contour-Domain切割方法。Gao Jianjun和Li Duan[11]结合基数约束问题的几何特点，将目标函数进行了放松并得到了不同放松形式下的解析解。Zheng Yiaojing等[12]提出用分段线性DC函数逼近基数约束函数从而将原问题分解为一系列凸的子问题。Cheng和Gao[13]构建了基数约束均值-CVaR投资组合优化模型，并提出采用加权l1-范数方法找到问题的近似解。TianYe等[14]人构建了正的锥约束来转化原规划问题，并用数值算例证明了得到的最优解优于已有方法得到的解。郝静和张鹏[15]提出用离散近似迭代法求解具有基数约束的多阶段投资组合模型的最优投资策略，并证明了其收敛性。Chang等[16]考虑了不同风险测度(均值-方差、半方差、均值绝对偏差及方差和偏度)下的基数约束问题，并用遗传算法进行求解。Woodside-Oriakhi等学者[17]对利用启发式算法求解基数约束投资组合问题的文献进行了梳理。作为一个NP困难的问题，考虑基数约束的投资组合前沿面仍然难以获取，即使采用启发式算法，也存在计算复杂和局部最优解等问题，因而基于真实前沿面直接对投资组合进行评价是一个难题。

投资组合效率评价模型可以分为两类：Diversification模型[18]和DEA(DataEnvelopmentAnalysis)模型[19]，两者的基本思想都是基于投资组合与前沿面的距离来计算投资组合效率。但Diversification模型是非线性模型，计算复杂，实际应用不便。而DEA是由Charnes等学者提出的一种基于样本数据的非参数方法[16]，是线性模型，计算简单。Liu等学者[20]关于DEA的应用调查发现，在金融，经济，教育等领域中应用甚是广泛。Murthi等学者[20]应用DEA模型评价了考虑交易成本的投资组合效率，提出投资组合DEA效率指数DPEI。Galagadera和Silvapulle[22]运用DEA方法，利用最小初始投资和多个时间段的平均收益和标准偏差评估了投资组合效率。Daraio和Simar[23]用标准偏差、费用比率、投资周转率和规模作为输入指标，预期回报作为输出指标进行了实证研究。ZhaoXiujuan等学者[24]分析了系统风险，非系统风险，投资期限和超额收益率，并构建了二次约束DEA模型评价投资组合效率。GuoJian等[25]运用DEA模型评估了走高时期的投资基金效率。DingHui等学者[26]研究了存在保证金限制的投资组合效率评价问题。周忠宝等学者[27-29]采用DEA模型对考虑交易成本的单阶段和多阶段投资组合进行了评价。杨宏林等学者[30]探索了基于DEA方法的价值与动量混合策略股票资产组合选择及效率评价问题。LiuWenbin等学者[3]系统地研究了DEA应用于投资组合效率评价的理论基础，以及考虑交易成本和交易量等市场摩擦和多种风险测度下的投资组合评价问题。用DEA方法逼近投资组合前沿面适用于连续凹函数的情形，然而考虑基数约束的投资组合前沿面可能是非凹且不连续的，因而不能直接运用DEA方法评价投资组合的效率。

本文基于存在基数约束的投资组合优化模型，根据其有效前沿面定义了投资组合效率。由于考虑基数约束的投资组合真实前沿面解析解难以获得，难以直接应用效率的定义对投资组合进行评价，因而本文研究了基于分段DEA模型的评价方法。首先，本文提出了一种样本分段点搜索算法，以逼近真实分段点；其次，基于样本分段点对投资组合进行分组，由于每个分段的有效前沿面是连续凹函数，据此提出了分段DEA前沿面来逼近真实前沿面，进而用DEA效率逼近真实的投资组合效率。仿真结果表明，本文提出的方法可以有效地评价考虑基数约束的投资组合效率。

2 考虑基数约束的投资组合效率定义

2.1 考虑基数约束的投资组合优化模型

如果限制投资组合中证券的数量不超过K，则可构建如下收益导向的考虑基数约束的均值-方差投资组合优化模型：

(1)

对应的风险导向投资优化模型可表示为：

(2)

其中，sign()为符号函数，当xi≠0时|sign(xi)|=1，当xi=0时sign(xi)=0。

2.2 考虑基数约束的投资组合效率定义

图1 投资组合效率

上述定义适用于投资组合有效前沿面为连续凹函数的情形，当考虑基数约束的限制时，投资组合真实前沿面函数可能出现不连续的情况(如图2所示)，此时如果采用风险导向，可能出现投资组合在前沿面上无法投影的情况，进而无法计算投资组合效率。

图2 考虑基数约束的投资组合效率

在上述情况下，尽管分段点或者突变点处期望收益出现较大变动，风险的取值仍然是连续的，这意味着对于任一投资组合，在收益导向下，始终能够得到前沿面上的投影点，因此总可以定义收益导向的投资组合效率：

在考虑基数约束的限制时，由于投资组合前沿面可能出现不连续的情形，因而在评价时需要注意导向的选取。考虑到风险的取值始终是连续的，采用收益导向的投资组合效率评价总是可行的，因而本文研究中均采用收益导向。

3 考虑基数约束的投资组合效率评价方法

LiuWenbin等学者[3]的研究表明，当投资组合前沿面是连续凹函数时，可以采用基于数据的DEA模型来评价投资组合效率，当投资组合数量趋于无穷时，DEA前沿面依概率收敛于真实前沿面。然而，考虑基数约束的投资组合有效前沿面可能是不连续的非凹函数，因而依据上述研究直接运用DEA模型进行评价是不可行的。

尽管考虑基数约束的投资组合有效前沿面可能不是连续的凹函数，但显而易见该有效前沿面是由多个连续凹函数分段构成的，这为运用DEA模型评价考虑基数约束的投资组合提供了一个思路：首先找出分段点，然后在每一段内采用DEA模型进行评价。然而，由于考虑基数约束的投资组合优化模型非常复杂，找到真实分段点仍然非常困难，因此本文提出了一种分段点搜索算法，根据样本分段点来逼近真实分段点。

样本分段点搜索算法：

1)对所有样本点依据风险大小进行排序，得到样本序列(σi,ri)(i=1,2,…,n)，其中σi为非降序列(σi≤σi+1,i=1,2,…,n-1)；

如图3所示，若kAO

图3 样本分段点判定方法

Liu等学者[3]的研究表明，当前沿面为连续凹函数时，随着投资组合数量趋于无穷，前沿面上任一点的任意邻域内总存在投资组合样本点[3]。由于考虑基数约束的投资组合有效前沿面在每一段内满足连续凹函数的条件，因而对于分段前沿面上任一点，当样本量足够大时，其任意邻域内总存在投资组合样本点。相应地，容易证明，当样本量足够大时，在任一真实分段点的任意邻域内总存在样本分段点，从而样本分段点逼近于真实分段点。

在确定了样本分段点之后，就可以将所有的样本按照样本分段点划分组别，在每一组内采用DEA模型进行评价。需要注意的是，本文假设不存在无风险资产，因而在组内进行评价时采用BCC模型，当存在无风险资产时可以用FG-DEA模型[26]或CCR模型[17]进行评估。

maxφ

λj≥0,j=1,…,m

(3)

需要特别指出的是，虽然基数约束下不同分段内的DEA模型在形式上跟其他DEA模型相同，但是投资组合样本数据中已经包含了基数约束等限制条件，而且其对应的投资组合优化模型和有效前沿面并不相同。

4 仿真分析

选取了2012年1月至2015年8月的中国A股市场5只股票的月收益率数据，由于个股的月收益率数值较小，本文以股票收益率的百分数为基准计算得到的期望收益率分别为6.0851、2.3036、2.0161、2.6819、0.8631，协方差矩阵如表1所示。

表1 协方差矩阵

为便于比较不同样本量下本文所提出的方法的实际效果，样本量m为100、500和1000。基数限制K=3和K=4时不同样本量对应的DEA前沿面和真实有效前沿面的比较如图4和图5所示。从图中可以看出，随着样本量的增加，样本分段点逼近于真实分段点，相应的分段DEA前沿面逐渐逼近于真实前沿面。

图4 分段前沿面比较(K=3)

图5 分段前沿面比较(K=4)

需要特别指出的是，从图中可以看出，当样本量比较大时，通过搜索算法得到的样本分段点的数量可能多于真实分段点，然而这并不影响投资组合效率的评价结果，原因在于，对于某一分段有效前沿面，因为其为连续凹函数，可以将其看作多个分段连续凹函数，采用收益导向的投资组合效率评价模型并不会影响最终结果。

基于真实前沿面和基于DEA模型计算的投资组合效率及其排名的相关系数如表2所示。由表2可知，随着投资组合样本量的增加，相关系数也逐渐增大，表明采用本文提出的方法评价投资组合绩效是切实可行的。

表2 相关性分析

5 结语

本文基于考虑基数约束的投资组合优化模型，定义了投资组合效率和真实分段点，提出了根据真实分段点对投资组合进行分段评价的思想。由于真实分段点难以计算，本文给出了一种样本分段点搜索算法，该算法能有效地逼近真实分段点。在确定样本分段点后，构建了DEA模型对每个分段内的投资组合进行效率评价。本文提出的方法是一种基于样本数据的效率评价方法，实用性很强，计算方便。仿真实例表明，随着样本量的增加，本文提出的搜索算法得到的样本分段点逐渐逼近真实分段点，分段DEA前沿面逼近于真实前沿面，且计算得到的DEA效率与基数约束下投资组合效率相关性越来越大，从而表明本文提出的方法切实有效。

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Performance Evaluation of Portfolios with Cardinality Constraints

ZHOU Zhong-bao1， JIN Qian-ying1， ZENG Xi-mei1， WU Qian1， LIU Wen-bin1,2

(1.School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Business School, University of Kent, Kent, CT2 7PE, England)

Using Data Envelopment Analysis (DEA) to evaluate the performance of portfolios requires that the portfolio efficient frontier is continuous and concave. However, the efficient frontier on considering cardinality constraints may not be continuous or concave. Obviously, the direct use of DEA to evaluate the performance of portfolios with cardinality constraints is not reasonable. In this case, the definition of portfolio efficiency is provided. Since the efficient frontier with cardinality constraints is a piecewise concave function, a numerical searching algorithm is put forward to obtain the sample segment points, which are used to group portfolios under cardinality constraints. The DEA model is then used to evaluate the performance of portfolios in each group. The simulation example indicates that, with the increase of sample size, the sample segment points converge to the real segment points, the DEA frontiers converge to the efficient frontier with cardinality constraints, the correlations between DEA efficiencies and portfolio efficiencies are becoming larger, which all indicate the feasibility and effectiveness of the proposed approach.

portfolio efficiency; cardinality constraints; efficient frontier; segment points search method; data envelopment analysis