基于M-Copula-SV-t模型的高维组合风险度量

2017-03-14刘祥东杨易铭

中国管理科学 2017年2期

关键词：高维参数估计度量

刘祥东，范彬，杨易铭，刘澄

(1. 北京科技大学东凌经济管理学院, 北京 100083; 2. 清华大学经济管理学院, 北京 100084;3.香港大学经济和金融学院，香港)

基于M-Copula-SV-t模型的高维组合风险度量

刘祥东1，范彬2，杨易铭3，刘澄1

(1. 北京科技大学东凌经济管理学院, 北京 100083; 2. 清华大学经济管理学院, 北京 100084;3.香港大学经济和金融学院，香港)

为解决非线性相关的高维投资组合风险度量问题，本文构建了一个基于M-Copula-SV-t风险度量模型。利用SV-t模型来拟合金融时序的边缘分布，并结合MCMC和Gibbs抽样法对边缘模型进行参数估计；采用由阿基米德族Copula线性组合构成的M-Copula函数联合边缘分布，并通过极大似然估计和BFGS算法对联合模型进行参数估计，进而利用Monte Carlo技术对最优风险投资组合进行风险测度；最后以典型汇率构建四维国际投资组合为例，检验所构建模型的可行性和有效性。实证结果表明，与单一Copula函数相比，由Gumbel Copula、Clayton Copula和Frank Copula线性组合所构成的M-Copula函数能够更为有效地刻画资产收益率的相依结构和尾部特征，建立在M-Copula函数基础上的风险度量结果也更为精确；由模型所计算的最优投资组合权重为外汇组合投资提供了重要参考。

混合Copula;SV-t模型;CVaR;组合风险度量;Monte Carlo模拟

1 引言

投资组合的风险度量是现代金融风险管理的重要内容。在经典的Markowitz均值方差框架下，当多项资产收益满足多元正态分布时，利用传统的线性相关系数来描述变量之间的相关性是可行的。然而，现实生活中的金融时序通常呈现非正态性行为和非线性相关，传统的基于线性相关的风险度量方法可能无法正确度量投资组合的风险，甚至完全失效。在此背景下， Copula理论的引入为进一步探究金融时序的风险度量问题提供了新思路。Copula函数的风险度量理论，可以针对金融时间序列的非线性相关建模，伴随着计算机技术的进步得到了迅猛发展[1]。

总体来说，Copula函数是一类将各部分资产收益的边缘分布与投资组合收益的联合分布相联系的连接函数，不受时序边缘分布的限制，并能结合VaR、CVaR、ES等方法实现对组合风险的度量。已有研究普遍采用Copula理论来研究二维风险相关性问题[2-11]、资产定价问题[12-13]、组合风险度量问题[14-17]、以及预测交易量持续期等[18]。林宇等[19]进一步运用混合Copula模型对内地和香港大盘指数的二维相依结构进行研究，结果表明两市场具有非对称的双尾关系。Copula函数类型广泛，主要应用于金融分析的有椭圆型Copula函数族和阿基米德 Copula函数族两大类。其中，椭圆型Copula函数是一类具有椭圆型轮廓线分布的函数，主要有Gaussian-Copula和t-Copula。其优点主要是可以构造不同相依程度的边缘分布Copula函数，而缺点在于分布函数没有封闭的表达形式且都是径向对称的。相比之下，阿基米德族Copula函数由生成元函数唯一确定，不同的阿基米德Copula函数对应不同的生成元，主要包括Gumbel-Copula、Clayton-Copula、以及Frank-Copula函数。由于其同时涵盖对称和非对称的尾部特性，更适合刻画金融时间序列“尖峰厚尾”的特征，因此在研究相依性分析以及金融风险管理等方面日益得到重视。

近年来，一些学者尝试将Copula理论应用在高维金融分析中。例如，周孝华等[20]利用正态多元Copula-SV-GPD模型研究特定基金组合的风险度量问题。马锋等[21]运用滚动Monte Carlo技术模拟四种Vine Copula结构来预测投资组合的动态VaR值，并比较各个Copula函数预测能力的优劣。苟红军等[22]将各成分资产设定为等权重，并利用t-Copula和Gaussian Copula函数对美元、欧元、日元和港元四种兑人民币汇率构建的投资组合进行风险度量。值得注意的是，单一Copula函数仅能刻画单一形态的金融时序尾部分布特征：Gumbel Copula函数用于刻画非对称的上尾相关，Clayton Copula函数用于非对称的下尾相关，而Frank Copula函数适合刻画对称的相关关系。由于金融资产之间的联系复杂多变，并不局限于特定的某种形式，因此单一的Copula函数很难切合地描述资产收益之间的相关结构以及厚尾特征。为此，Hu Ling[23]进一步扩展Copula理论，提出了基于Gumbel、Clayton、以及Frank Copula线性构成的M-Copula模型，来描述二维资产组合的依赖性。吴吉林等[23]利用多机制平滑转换混合Copula 模型来实证分析中国A、B、H 股市间尾部相依性的趋势。由于混合Copula函数能够同时兼顾不同Copula函数的性质，理论上提高了刻画金融时序特征的灵活性。然而，当利用Copula函数解决高维相关性问题时，时常会面临“高维魔咒”的困境，使得计算结果的求解过程缓慢，精度较低，甚至有失效的可能性。同时，在不事先假定投资组合权重的情况下，处理问题的关键还包括设计合理算法对混合Copula函数进行参数估计，以及求解高维投资组合的最优权重。这一双重要求使得如何有效利用混合Copula函数进行高维建模成为亟需攻克的难题。

为了合理有效地度量高维投资组合风险，本文构建了基于M-Copula-SV-t模型的风险度量模型。首先，采用SV-t模型刻画成分资产的波动性及尾部特征；其次，借鉴Hu Ling[19]的线性组合思想，将二元的M-Copula函数扩展至N维以连接高维边缘资产分布；同时，针对高维诅咒可能带来的结果精度低、计算易失效等问题，采用极大似然估计(MLE)和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)算法相结合的方式对所构建的风险度量模型进行参数估计；最后，以美元、欧元、日元和港币四种外汇的投资组合风险度量为例，实证检验了所构建模型的可行性和有效性。

与已有文献相比，本文的主要贡献体现在以下两个方面：第一，构建了由阿基米德族中三类Copula线性构成的高维M-Copula函数，能够更为灵活地连接高维非线性边缘分布，切合地描述金融时序特征，提升了衡量组合风险的精度；第二，采用BFGS算法和极大似然估计相结合的方式对模型进行参数估计，有效地解决了投资组合风险度量中的“高维魔咒”问题。此外，通过数学优化方法和Monte Carlo技术求解出最优投资组合权重以及相应的VaR和CVaR值，将风险度量研究进一步拓展至投资组合优化方向。

2 高维组合风险度量模型

2.1 M-Copula-SV-t模型

(1) M-Copula函数的构建

规范化的Copula理论起源于Sklar定理[25]，它揭示了一个联合分布可以分解为一个Copula函数和n个边缘分布，变量间的相关性可以由Copula函数来描述。Nelson[1]证明了多个Copula函数的任意凸线性组合仍为Copula函数，这为利用Copula理论联合非线性相关的时间序列提供了理论支持。考虑到金融时序之间可能存在的对称性、上尾亦或是下尾相依性，本文综合考虑多种Copula函数的特征，构造更为灵活的M-Copula混合函数来连接不同形状边缘分布，以实现更好地刻画复杂相关结构的目的。具体而言，一个N元M-Copula函数是由阿基米德族的Gumbel、Clayton以及FrankCopula函数线性组合而成，其函数表达式为:

CM(u1,u2,…,uN;θc)=ω1CG(u1,…,uN;a)+ω2CC(u1, …,uN;θ)

(1)

其中CG(u1,…,uN;a)、CC(u1,…,uN;θ)和CF(u1,…,uN;λ)分别为N元的Gumbel、Clayton和FrankCopula函数；a∈(0,1]，θ∈(0,)，当N=2时λ≠0，当N>2时λ∈(0,)。M-Copula函数共有六个参数，其中α、θ和λ刻画变量之间的相关程度；权重参数ω1、ω2和ω3刻画变量之间的相关形式，权重参数不同的组合可以刻画不同的相关形式。由此可见，M-Copula函数涵盖各个子函数的特点，不仅能够分别呈现金融时序之间可能存在的非对称上、下尾相关以及对称相关三种形式，还能够描述不同相关结构并存的特殊形式。因此，M-copula函数能够更好地描述金融市场上的复杂相依性和厚尾性，具有更好的适用性和灵活性。

(2)M-Copula-SV-t模型的构建

SV(StochasticVolatility)模型的产生源自于对期权定价问题的研究。在B-S公式中，波动被认为是一个与时间无关的常量；而Clark[26]与Taylor[27]假设波动服从某种潜在的随机过程，提出了SV模型。Hull和White[28]证明了利用SV模型比利用B-S模型计算出的期权价格更符合实际情况，这进一步奠定了SV模型在研究金融时间序列中的地位。随后，Harvey等[29]和Jacquier等[30]将SV模型引入到了计量经济学的研究中，以弥补GARCH类模型应用的不足。由于金融时序往往会呈现出“尖峰厚尾”的现象，Kim等[31]进一步引入SV-t理论，以更好地刻画金融时序的边缘分布特征。鉴于此，本文采用SV-t模型来拟合单一资产收益的边缘分布，并结合N维的M-Copula混合函数来连接各个边缘分布，进而建立能够度量高维风险的M-Copula-SV-t模型，其具体表达式如下：

(2)

τ2=μ+φ(θn,t-1-μ)+ηn,t，ηn,t～i.i.dΝ(0,τ2)

(3)

CM(，…，)=ω1CG(，…，α)+ω2CC(，…，θ)+ω3CF(，…，λ)

(4)

(ε1,t,ε2,t,…,εN,t)～CMε(Tω1(ε1,t),Tω2(ε2,t),…,TωN(εN,t);θc)

(5)

(η1,t,η2,t,…,ηN,t)～CMη(Φ(η1,t),Φ(η2,t),…,Φ(ηN,t);Θc)

(6)

其中Tωn(·)为均值为0，方差为1，自由度为ω的t分布的分布函数(n=1,2,…,N)；Φ()是均值为0，方差为τ2的正态分布函数；CM(，…，；)为GumbelCopula、ClaytonCopula和FrankCopula三个Copula函数组成的N维M-Copula函数；CMε(·,…,·;·)为描述N种金融资产之间相关关系的M-Copula函数；CMη(·,…,·;·)为描述N个潜在波动过程之间相关关系的M-Copula函数。

(3) 模型参数估计

1)SV-t模型的参数估计

由于SV类模型的似然函数没有具体的解析表达式，不能应用极大似然估计法进行参数估计。本文选用MCMC法[32]对SV-t模型进行参数估计，其中转移核的构造采用Gibbs抽样法。

对于SV-t模型，令y=(y1,y2,…,yT)、ξ=(μ,φ,τ,ω)、θ=(θ1,θ2,…,θT)，应用MCMC法和Gibbs抽样法进行参数估计，计算参数μ、φ、τ和ω的估计值。

2)M-Copula函数的参数估计

于M-Copula混合模型比单一Copula模型涉及更多的参数(主要包含三个相关参数以及三个权重参数)，对数似然函数极大值的求解过程会相应变得更为复杂。鉴于此，本文将极大似然估计(MLE)与BFGS算法相结合来解决这一问题，具体步骤如下：

①利用极大似然估计法求得N维M-Copula模型CM(F1(x1;θ1),F2(x2;θ2),…,FN(xN;θN);θc)关于样本 (x1,t,x2,t,…,xN,t)的对数似然函数(t=1,2,…T):

上述对数似然函数是一个非线性函数，采用BFGS算法对N维目标函数进行优化。

② 将求得的对数似然函数lnL(·,…,·;θ)取相反数，得到目标函数-lnL(·,…,·;θ)；

③ 利用BFGS算法对目标函数-lnL(·,…,·;θ)进行优化，求解其最小值；得到N维的M-Copula函数cM(·,…,·)的相关参数(θ1,θ2,…,θN)T和权重参数(ω1,ω2,…,ωN)T的估计值；对目标函数最小值求相反数，得到其对数似然函数lnL(·,…,·;θ)的估计值。

2.2 M-Copula-SV-t模型的风险测度

VaR方法是金融风险计量中的经典方法，但由于其存在不少局限性，比如不满足一致性和次可加性、无法识别风险集中等，在风险测度方面时常存在偏差。而CVaR作为对VaR方法的修正，具有连贯一致性，能够克服VaR的局限性，对风险分析也更为科学[33]。鉴于此，本文主要采用CVaR方法来度量高维组合风险。同时，由于在边缘分布建模时运用SV-t模型，其概率密度函数较难求解，因此在计算CVaR时，本文选用如下所示的近似CVaR计算函数：

(7)

CVaRa=min[Fa(x,w)]

(8)

从上述计算公式可以看出，CVaR的计算是建立在VaR的基础之上的。为此，需要根据构建的M-Copula模型进行MonteCarlo模拟，首先计算VaR，然后根据上述公式计算CVaR。具体计算步骤如下：

(1) 基于构建的M-Copula模型进行MonteCarlo模拟，得到大量的模拟数据。对于N维M-Copula函数的Monte Carlo模拟，可以采用如下方法：

1) 生成包含N个服从(0,1)独立均匀分布的变量的随机数向量(v1，v2，…，vN)；

2) 根据以下递归式生成服从前文构建的N维M-Copula函数cM(·,…,·;·)的随机向量(u1，u2，…，uN)：

其中:

(CM)(u1,u2,…,un-1)(un)=P[Un≤

3) 重复步骤 2)M次，即得到随机向量(u1,u2,…,uN)的M次模拟结果。

(2) 根据SV-t模型拟合得到的边缘分布函数Fn(rn)对模拟得到的随机向量(u1,u2,…,uN)进行变换，得到N种资产的收益率序列(r1,r2,…,rN)，

(9)

(3) 根据模拟得到的N种资产的收益率序列(r1,r2,…,rN)，利用CVaR计算函数计算得到资产组合的CVaR值，具体过程如下：

1) 将收益率数据(r1,r2,…,rN)代入CVaR计算函数

其中x=(x1,x2,…,xN)T为N种资产的权重向量；rk为N种资产的收益率向量r=(r1,r2,…,rN)T的第k次模拟结果；M为总模拟次数。

3 实证分析

验证高维模型的可行性和有效性，本文以美元、欧元、日元、港元兑人民币四种外汇汇率构成的投资组合为例进行风险度量。中国人民银行于2010年6月19日宣布启动新一轮汇率改革，这意味着汇率市场化程度进一步提高。由此，本文选取样本为四种国际货币的人民币中间价日度数据，样本区间为2010年6月19至2014年4月30日，数据来源于国家外汇管理局。其中，数据的描述性统计分析与检验使用Eviews6.0完成，SV-t模型的构建与检验分别使用WinBUGS14和SPSS19完成，M-Copula和CVaR模型的构建和检验使用MATLAB7.9完成。

3.1 描述性统计分析与检验

对四种外汇资产的时间价格序列Pt进行如下处理:

rt=100×(lnPt-lnPt-1)

得到其对数收益率序列rt。各汇率收益率序列的描述性统计结果如表1所示。

表1 四种外汇的对数收益序列的描述性统计与单位根检验

注：括号内为P值

从上表可以看出，四种外汇资产的峰度系数均大于3；偏度系数均不等于零，美元、日元和港币略微左偏，欧元略微右偏；这表明这四种外汇资产的收益率序列均具有“厚尾”的特征。同时，四种外汇的Jarque-Bera检验结果表明，各个收益率均不服从正态分布，因此，不宜采用正态分布来描述四种外汇资产收益率序列的分布特征。同时，ADF检验结果显示，各个收益率序列是平稳的，符合SV-t模型的要求。此外，SV-t模型还要求数据不存在高阶自相关性，因而本文进一步对四种外汇的对数收益率序列进行自相关检验，四种外汇资产收益率序列的自相关、偏自相关系数分别如图1所示。

图1 美元、欧元、日元、港元自相关、偏自相关系数图

从上面的自相关、偏自相关系数图可以看出四种外汇资产的收益率序列均不存在自相关，符合SV-t模型的建模要求，可以对其边缘分布构建SV-t模型。

3.2 模型参数估计与检验

通过对外汇收益率序列的描述性统计分析和检验，发现其不存在序列相关，并且具有平稳性和“厚尾”特性。这些特征符合SV-t建模要求，因此可以基于SV-t进而建立M-Copula混合模型来连接边缘分布。

(1)SV-t模型的参数估计与检验

利用SV-t模型对四种外汇资产消去均值后的对数收益率序列分别进行拟合，其参数估计采用MCMC方法和Gibbs抽样法完成。本文进行50000次迭代，舍弃初始未收敛的迭代，选取第5001～50000迭代为抽样结果，并对模型进行K-S检验，相应参数估计与K-S检验结果如表2所示。

上表中残差项εt和随机扰动项ηt的K-S检验的结果表明，SV-t模型有效地拟合了四种外汇资产的收益率序列的边缘分布。

表2 SV-t模型的参数估计与K-S检验

(2)M-Copula模型的参数估计与检验

根据SV-t建模结果可得到随机扰动序列εt和ηt，然后对概率积分变换后的序列构建CMs(·,·,·,·;·)和CMη(·,·,·,·;·)两个M-Copula模型。由于CMs(·,·,·,·;·)和CMη(·,·,·,·;·)分别描述了四种外汇收益率之间的相关性以及波动性之间的相关性，因此这两个M-Copula是表达联合分布函数的关键。

利用极大似然估计法与BFGS算法结合对CMs(·,·,·,·;·)和CMη(·,·,·,·;·)进行参数估计，并对参数估计结果进行K-S检验，相应结果如表3所示。

表3 M-Copula函数的参数估计与K-S检验

注：-表示无参数估计结果

由表3结果来看，CMε(·,·,·,·;·)和CMη(·,·,·,·;·)较好地反应了子资产收益率之间及其波动过程之间的相关关系。首先，从相关参数的估计结果来看，GumbelCopula函数与ClaytonCopula函数的参数估计值均大于0，这表明外汇收益率在上下尾部均具有较强的相关性，而FrankCopula函数的参数估计值趋近于0，这表明四种子资产的收益率在尾部之外区域是趋于独立的。其次，从权重参数的估计结果来看，描述对称相关关系的FrankCopula占比最大，GumbelCopula和ClaytonCopula占比较小，但Clayton仍比GumbelCopula权重参数稍高一些。这表明：第一，四种外汇资产收益率的相关关系主要表现为对称相关，这可能与所选样本区间的市场稳定性较高有关；第二，下尾特征比上尾特征表现得更为明显，即子资产之间呈现出同跌比同涨的联动性更高，这与金融时序的厚尾性质相一致。

为了比较M-Copula混合函数与单一阿基米德族函数对高维投资组合的拟合效果，也即考察混合模型与其成分之间的解释力度区别，本文对四种模型的拟合优度进行了比较研究，结果如表4所示。

表4 Copula函数拟合优度

与M-Copula混合建模相比，利用Gumbel、Clayton以及Frank Copula分别进行建模的似然值更小，AIC值更大，从侧面体现了M-Copula的建模优越性，对数据拟合具有较高的精确度，更适用于复杂金融时序的建模问题。

(3) CVaR的计算与检验

关于投资组合的高维风险测度，本文首先利用Monte Carlo模拟得到服从所拟合的四维M-Copula函数CMε(·,·,·,·;·)的随机向量(uU,uE,uJ,uH)，然后利用SV-t建模所拟合的边缘分布得出成分资产的模拟收益率序列r=(rU,rE,rJ,rH)T。在设置迭代为10000次的模拟环境下，分别计算90%、95%和99%置信水平下的最优投资组合权重以及相应的最小VaR和CVaR值，结果如表5所示。

表5 最优投资组合权重与CVaR

计算结果表明，基于所选样本区间，最优资产组合以投资美元和港币为主，少量持有欧元和日元资产。这体现了美元和港币相对于欧元和日元的总体风险更小，这可能在一定程度上与国家的政策不确定性相关联。此外，当置信水平提高时，港币较美元的占比有所下降，这体现了港币的风险相对于美元可能更小。总体来看，Monte Carlo模拟计算出来的最优外汇资产组合权重对跨市场金融投资者提供了重要的参考意见。

为了检验VaR计算结果的有效性，本文进一步对结果进行了Kupiec[34]失败频率检验，具体结果如表6所示。

表6 Kupiec失败频率检验

从检验结果来看，在90%、95%以及99%的置信水平下，VaR计算结果均是有效的。其中，在95%置信水平下，VaR的实际失败天数与预期失败天数一致，计算结果的有效性程度最高。由于本文计算的CVaR值是由VaR的结果迭代而出，VaR的结果可靠性也保证了CVaR的结果有效性，这也进一步证实了本文提出的高维投资组合风险度量模型的可行性。

4 结语

本文从理论和实证两方面构建了M-Copula-SV-t高维投资组合风险模型：首先，利用SV-t模型来拟合金融时间序列的边缘分布，并结合MCMC和Gibbs抽样法对相应边缘模型进行参数估计；其次，采用由Gumbel、Clayton 以及Frank Copula函数线性构成的M-Copula混合模型来刻画子资产收益率之间的相关关系和厚尾特征，并通过极大似然估计和BFGS算法对联合模型进行参数估计；随后，利用Monte Carlo模拟来测度联合分布的组合风险。同时，本文以美元、欧元、日元和港币四种外汇兑人民币的汇率为例，实证检验了所构建模型的可行性和有效性。实证结果表明：

第一，与单一阿基米德族Copula建模相比，M-Copula-SV-t模型具有优越性，不仅可以有效应对高维诅咒难题，还能实现更为精确的投资组合收益率拟合度，以及较为准确地度量高维非线性相关的组合风险。

第二，子资产收益率之间主要表现出Frank Copula函数所对应的双尾部对称相关性，然而Clayton较Gumbel Copula权重占比较高也说明了子资产之间呈现出同跌比同涨的联动性更高。基于对所选样本区间的分析，相应的投资组合应以美元和港币为主，少量持有欧元和日元资产，这为外汇投资活动的短期资产配置提供了重要的参考。

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High-dimensional Portfolio Risk Measurement Based on M-Copula-SV-t Model

LIU Xiang-dong1, FAN Bin2, Yang Yi-ming3, LIU Cheng1

(1.Donlinks School of Economics and Management, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;2.School ofEconomics and Management, Tsinghua University, Beijing 100084, China;3.School of Economics and Finance, The University of Hong Kong, Hong Kong, China.)

The return of financial asset usually has a characteristic of fluctuation clustering with sharp peaks and fat tails, not complying with the normal distribution. Therefore, the nonlinear correlation should be considered when measuring the risk of an investment portfolio. In this respect, copula functions provide a fairly new approach for connecting the marginal distributions of nonlinear series in the high-dimensional risk assessment of portfolio. However, it is noteworthy that two challenging problems exist in this field: one is how to choose or construct an appropriate copula function, the other is how to estimate model parameters. To address these issues, a novel M-Copula-SV-t model is proposed in this paper. Specifically, SV-t model is first employed to fit the marginal distributions of financial time series, where MCMC method with Gibbs sampling are used to estimate marginal parameters; then an M-Copula function consisted of linearly combined Archimedean Copulas is designed to jointly connect these marginals. where joint model parameters are estimated by MLE and BFGS algorithm; afterwards Monte Carlo technique is adopted to simulate optimal portfolios under minimal values of VaR and CVaR. The model feasibility and effectiveness is fruther vertified by taking an example of four exchange rates, where the empirical results indicate that our mixture modeling outperforms other individual Archimedean Copula modeling in dealing with the issue of dimensionality curse, and capturing asymmetry and tailed fatness of portfolio analysis. Therefore, our proposed model contributes to the literature of intra-market portfolio management, and provides valuable suggestions for international investors with respect to short-term decisions.

mixture copula; SV-t model; CVaR; risk measurement of portfolios; monte carlo simulation