甘肃省通渭县第二中学 (743300) 段伟军

对一道高考模拟题的讲解展示与思考

甘肃省通渭县第二中学 (743300) 段伟军

1.试题呈现

试题 (2016年定西市第三次高考模拟试题)设函数f(x)是定义在D上的函数，若对任何的实数a∈(0,1)以及D中的任意数x1,x2，恒有f(ax1+(1-a)x2)≤af(x1)+(1-a)f(x2),则称函数f(x)是定义在D的H函数.

(2)已知函数f(x)是R上的H函数，m是给定的正数，设an=f(n),n=0,1,2,…,m,且a0=0,am=2m,记Sf=a1+a2+a3+…am,对于满足条件的任意函数f(x),试求Sf的最大值;

(3)若f(x)是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明f(x)不是R上的H函数.

2.课堂教学展示

2.1 复杂繁琐的讲解过程

所以函数f(x)在[0,T)上是常函数，又因为f(x)是周期为T的函数，所以f(x)在R上是常函数，这与f(x)的最小正周期为T矛盾.所以f(x)不是R上的H函数.

2.2 学生的积极思考给予灵感

讲解过后给学生留了5分钟思考时间，问学生有没有其它问题，这时学生A举手说，老师你的这种思路我不是很理解，但他觉得可以从最小正周期找出矛盾，我给与评价性的指导，学生B举手说，我有其他证法，证法如下:

学生C回答，我是通过图像做的，H函数与老师讲过的凸函数差不多，应该向下凸的.

学生D举手回答说，如果函数是H函数，以幂函数指数大于1为例，图像在第一象限的部分各点处的切线斜率是递增的，我是从单调角度证明并找出矛盾的.证法如下：

假设f(x)是H函数，则f′(x)单调递增，设0x0+n,故(*)式不成立，所以f(x)不是定义在R的H函数.

笔者在课堂上肯定了这位同学独特的见解，并给与积极的评价，同时指出这种证法缺少严密性，但结论是正确的.

2.3 适当的拓展引申使问题锦上添……