浙江省金华市第六中学 (321000) 胡奇宝

赏析“新定义型”数列

浙江省金华市第六中学 (321000) 胡奇宝

近年来，全国各地高考试题或各地模拟试题中出现了一种“新定义型”数列，这种数列问题情境新颖，阅读量明了简短，让答题者眼前一亮的同时犹如一股清新之风迎面吹来，令人神清气爽.在领略了题目的真意之后，更体会到了命题人的匠心独具和创新精神．

“新定义型”数列给出一种不同于常规的新概念、新性质、新运算、新符号，旨在考查学生对数学基础知识、基本方法、基本技能的掌握情况,而且考查了学生的创新思维能力.正是由于这种总揽各种知识方法、能力的特点使得“新定义型”数列，如同一朵清新的小花成为全国各地考题的新宠．现采撷几朵与同行交流欣赏，不妥之处请批评斧正．

一、无穷互补数列

题1 对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an,n∈N*,B={x|x=bn,n∈N*},若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*,则称{an}与{bn}是无穷互补数列．

(1)若an=2n-1,bn=4n-2,判断{an}与{bn}是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2)若an=2n且{an}与{bn}是无穷互补数列，求数列{bn}的前16项的和；

(3)若{an}与{bn}是无穷互补数列，{an}为等差数列且a16=36,求{an}与{bn}的通项公式．

解析：(1)因为4∉A,4∉B,所以4∉A∪B,从而{an}与{bn}不是无穷互补数列．

(3)设{an}的公差为d,d∈N*,则a16=a1+15d=36．

评注：要证明一个结论不正确，只要举出一个反例即可，而要证明结论正确，必须经过严格的推理论证．

二、H数列

题2 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称数列{an}是“H数列”.

(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*),证明: 数列{an}是“H数列”;

(2)设数列{an}是等差数列,其首项an=1，公差d<0.若{an}是“H数列”,求d的值；

(3)证明：对……