胡乃榕

【摘要】本文利用热力学理论，深入剖析偏微分方程的本质。由于物体内部温度的分布和变化方式的不同，为了确定其具体的物理状态，不仅要考虑热传导规律，还要增加其他附加条件，即初始条件和边界条件。微分方程描述了一个随时间变化而不断演化的动态过程，而初始和边界条件则描述了在某个特定时间点该过程的几种确定的存在状态，捕捉到这些特殊时刻的状态，既能保证解的存在，又能使解达到最优。

【关键词】偏微分方程 初始条件 边界条件 热力学理论

如果一个微分方程中出现的未知函数只含有一个自变量，这个方程叫做常微分方程或简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说未知函数和几个变量有关，那么这种微分方程就是偏微分方程。

偏微分方程研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少个解，解的各种性质以及求解方法等等，并且还要尽可能地用偏微分方程来解释和预见自然现象以及如何把它用之于各门科学和工程技术。

物理学中的“热传导”现象，可以用偏微分方程的形式来描述。由于物体内部的温度分布和变化方式的不同，为了确定具体的物理状态，不仅仅考虑热传导规律，还要增加其他附加条件，即初始条件和边界条件。

偏微分方程描述了一个随着时间变化而不断演化的动态過程，而初始和边界条件描述物体在某个特定的时间点的确定的存在状态。

一、利用热力学理论，揭示偏微分方程的物理学本质

根据我们日常生活的经验，可以知道当物体内部各处的温度不同的时候，热量就会从温度高处向温度低处传递，这种现象被称为“热传导”现象。

假设将物体G内任意选取一个由曲面L所构成的区域D，依照热量守恒定律，D内各点的温度由任意时刻t1的u（x，y，z，t1）改变为t2时刻的u（x，y，z，t2）所吸收（或释放）的热量Q，等同于从t1到t2时间段内通过L进入（或流出）D内的热量Q1和D内热源供应的热量Q2的和。

假设该物体的比热是c（x，y，z），密度是ρ（x，y，z），那么温度从u（x，y，z，t1）提高到u（x，y，z，t2）需求的热量dQ=cρ[u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）]dV

区域D因为温度变化需求的热量是：Q=■cρ[u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）]dV （1）

依照微积分基本公式u（x，y，z，t1）-u（x，y，z，t2）=■■dt

（1）式可以写成Q=■cρ■■dtdV=■[■cρ■dV]dt

此外，在不同的时刻t1和t2内，经过该物体内部曲面L进入D的热量是：

Q1=-■[■k■ds]dt

由于物体内部或许存在着热源，假设物体内部的热密度是F（x，y，z，t），在时间[t1，t2]

体热源能够产生的热量为：

Q1=■ [■F（x，y，z，t）dV]dt （2）

依照热量守恒定律：Q=Q1+Q2 （3）

把（1）式和（2）式代入（3）中，得到：

cρ■=■（k■）+■（k■）+■（k■）+

F（x，y，z，t） （4）

（4）式是温度函数所满足的方程

假如令α2=k/cρ，则（4）式可以写作：

■=α2（■+■+■）+f（x，y，z，t），

其中f=F/cρ（5）

在没有热源的条件下，方程可以进一步化简为下面的偏微分方程形式：

■=α2（■+■+■） （6）

结论1：在物理学上，方程（6）代表着一种热传导方式：u（x，t）代表了在一根均匀质地的细长棒中各处的温度，是随着细棒的长度x和时间t的变化而变化着。

二、从物理学的角度剖析初始条件和边界条件存在的必要性

因为上面的偏微分方程展示的是热传导的一般规律，如果在某一时间t0的温度分布不一样，则它们在以后时刻t>t0的温度分布也是不一样的。并且即便是同一物体，假如所处的状态不一样，它在t≥t0时边界θG上的热学状态也不一样，那么它内部的温度分布和变化方式也会不一样，所以，为了可以确定具体的物理状态，是不能单独依靠热传导，还要增加有其他附加的条件。

结论2：微分方程描述了一个随着时间变化而不断演化的动态过程，而初始和边界条件描述的是在某个特定的时间点该过程的几种确定性的存在状态。

在物理学上，初始和边界条件给出了在最初或者最后，或者某些重要的时刻，该物体的特殊存在状态，捕捉到这些特殊时刻的状态，既能保证解的存在，又能使解最优，意义重大。

三、偏微分方程边界条件的数量

在物理学中，除了描述热传导现象，其他如弹性体的形变和平衡、电磁波的传播、电子在原子核外的运动规律等，都可以用偏微分方程来描述。

常见的偏微分方程大致可以分成如下几类：

Ⅰ类：弦震动方程；Ⅱ类：热传导方程；Ⅲ类：拉普拉斯方程；Ⅳ类：特里谷米方程。

其中，Ⅰ类属于双曲型， Ⅱ类属于抛物型，Ⅲ类属于椭圆型。

关于偏微分方程边界条件所需的数量，对于Ⅰ类来说，一处需要给出两个边界条件，分别表示弦的初始位置和初始运动速度；Ⅲ类处处都要有边界条件，但数目只有一个；Ⅱ类和Ⅳ类只是在部分边界上各给一个边界条件。Ⅰ类不能提出的Ⅲ类中的边界条件，因为对于这类边界条件的解往往是不存在的。