江苏省启东市南苑小学 杨桂花

善于举例
——架起具体与抽象之桥——《乘法分配律》教学例谈

江苏省启东市南苑小学 杨桂花

【课前思考】

乘法分配律是苏教版四年级下册的内容，是在学生学习了加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律的基础上教学的。在所有的运算定律中，乘法分配律是学生较难理解和叙述的。如果学生没有充分经历从具体到抽象的过程，学生对概念的理解就是表面的、肤浅的、模糊的，也就无法触摸到数学的本质。

数学的研究对象虽然具有抽象性，但对于某一个抽象层面的数学而言，总能找到与之相对应的具体表征，也就是“例子”来加以阐释。学生对于数学的认识往往是从具体逐步走向抽象，举例恰好能把抽象的问题具体化，使复杂的问题变简单，使陌生的情境变熟悉。史宁中教授曾说过：讲课讲不明白的时候，最好的方法就是举例说明。对一个知识是不是理解了，最好的办法就是举例说明。举例是一种教学策略，更是一种教学艺术，体现的是教学智慧。郑毓信教授把善于举例作为数学教师的三项基本功之一，在教学中教师不仅自己应善于举例，还要重视并鼓励学生举例。

【课堂践行】

【片断一】

出示问题情境一：学校四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳，四、五年级一共要领多少根跳绳？

师：这道题你能用几种方法解答？请同学们列综合算式解答。（教师巡视，展示收集到的两种不同方法，请学生汇报）生1：我列的算式是6×24＋4×24，结果是240根。我是先算四、五年级各领多少根跳绳，然后再合起来。生2：我列的算式是：（6＋4）×24，结果也是240根。我是先求四、五年级共有10个班，再算10个班一共领了多少根跳绳。师：从这两种方法中，你发现了什么？生：虽然两种方法不同，但得出的结果却相同。师：既然这两个算式结果一样，那么就可以用等号连起来。师板书：（6＋4）×24=6×24＋4×24。

出示问题情境二：王大伯打算给一块长方形菜地一圈围栅栏，菜地的长是78米，宽是22米，围成这块菜地的栅栏的总长是多少？

方法同情境一，得出两式结果相等，板书：（78＋22）×2=78×2＋22×2。

师：请同学们观察刚才得到的两个等式，你有怎样的感觉？是不是看上去很相似啊？生：嗯！可能有规律。师：真有规律吗？把你的想法在小组内交流一下。师：对于可能存在的规律，仅凭这两个等式就能说明这个规律肯定成立吗？生：不能。师：那该怎么办？生：再找更多这样的等式。师：你能照样子写两个像这样有联系的算式吗？算一算，验证结果是否相等。（生举例验证，各自汇报……教师随机板书）师：我们每人都举了两个例子，全班合起来就有很多例子，发现两边的结果都是相等的，看来同学们心中的那个规律可能真的存在。现在我们能不能换个角度去看，不用计算，就能判断两个式子的结果是否相同？（生沉默思考）生：老师，我能。师：你说说看。生：比如（78＋22）×2=78×2＋22×2，左边括号里算出是100，就表示100个2，右边是78个2加上22个2，也是100个2，所以两边的结果一定是相等的。师：同学们，你听明白了吗？生：明白了。师：那你能用这个思路再说说情境一中的算式吗？生：左边括号里算出是10，就表示10个24，右边是6个24加上4个24，也是10个24，所以两边的结果一定是相等的。师：再和同桌互相说说你们自己写的算式。（同桌交流）师：现在我们再来思考，有没有可能像这样的式子两边不相等？（生思考，尝试举出反例……）生：不可能，找不到。师：这么看来，同学们猜测的那个规律是真的存在，你能用自己喜欢的方式表示出你认为的规律吗？生1：（a＋b）×c=a×b＋a×c。生2：（○＋□）×△=○×△＋□×△。师：同学们真了不起，通过努力验证了这个规律，你觉得用哪一种表示这个规律更好一些？生：用字母的那一个。师：为什么呢？好在哪里呢？生：前面我们学习的一些定律也是用字母的，简单好记。师：我也同意你的观点，这就是咱们数学的简洁美。这个规律就是乘法分配律。（师板书）

【思考】——模仿举例，经历抽象过程，建立模型。

数学建模很多来自于现实生活情境，学生已有的生活经验有利于建模。课始创设了学校领跳绳和求长方形菜地栅栏的长两个熟悉的情境，激活了学生的已有经验，提出“你能用几种方法解答？”学生很快按要求用两种不同的方法列式解答，并能够很容易地得出两式相等。在以上两个问题的解决过程中，学生经历了两种不同思考方法的计算后，便于学生发现新的知识规律，产生乘法分配律的知识就存在于实际问题解决中的一种数学体验。

学生在初步得出规律的基础上，教师并没有急于让学生说出规律，而是继续为学生提供具有挑战性的探索机会：“请你再举出一些符合自己心中规律的等式。”学生通过自主探索去发现、猜想、质疑、感悟、调整、验证、完善，感悟到算式的特点，验证其内在的规律，从而概括出乘法分配律。

对于乘法分配律的教学，教师不是把重点放在数学语言的表达上，而是放在让学生在不断举例中去完整地感知，经历“引发猜想——举例验证——寻找反例”的探究过程，通过观察、比较和归纳，大胆用自己喜欢的方式表示出来。学生经过这样的探究活动，建构起有意义的知识，对乘法分配律的理解也就水到渠成。

【片断二】

师：现在我也来举一些例子，你们先算一算，然后把结果相同的两个式子连起来。学生分小组算。

第一组题：①（41＋26＋33）×28；②46×17－36×17；③39×66＋39×34；④48×99＋48×1；⑤（4＋20）×25。

第二组题：①4×25＋20×25；②(66＋34)×39；③41×28＋26×28＋33×28；④（46－36）×17；⑤48×（99＋1）。

（算第二组题的同学算完时，算第一组题的同学还在算。）

师：把结果相等的算式用线连一连。相等的式子我们都找到了，刚才左右两边的同学计算速度相差很多，我们来看看算式的特点。生1：我发现第二组题算起来简便。师：看来乘法分配律还可以用来简便计算，提高我们的计算速度。师：大家来观察这个式子：48×99＋48×1=48×（99＋1），这是我们发现的那个乘法分配律吗？生1：不是。生2：是，就是把它给倒过来用的，实际意义是一样的。师：到底怎么想呢？再仔细观察观察，联系我们刚才的很多例子比一比，发现了什么？生3：其实我们只要把每个乘法算式的乘号前后的数交换位置，就是刚才说的样子！（迫不及待地上黑板指了）左边可以理解为99个48加1个18，合起来也是100个48，和右边是一样的。师：你们有没有理解了他的想法？是的，这是乘法分配律的逆应用，也可以用来简化计算。师：再看这组：46×17－36×17=（46－36）×17，你有什么想说的？生：我们刚才做的都是带“＋”的，可是这个是“－”。师：看来我们的乘法分配律还有新的内涵呢。补充板书：（a－b）×c=a×c－b×c。师：再来观察（41＋26＋33）×28=41×28＋26×28＋33×28这个等式，你有没有想说的？生：刚才我们做的都是两个数的和与一个数相乘，这道题是三个数的和与一个数相乘。师：如果是4个、5个数或更多数的和与一个数相乘，还能用乘法分配律吗？生：能。师：举一些例子来说明一下，并且验证一下你的想法是否正确？生举例……

【思考】——变式举例，拓展概念内涵，彰显本质。

教学中经常看到一些错误观念，例如角必定有一条水平射线；图形的高必须处于与水平方向垂直的位置，并且一定与底边相交等。学生之所以会形成这些错误观念，与我们在教学中经常使用的“标准变式”有着直接联系。从这个角度分析，教学中引入一些“非标准变式”，对于防止或纠正学生的错误观念特别重要。

案例中，当有学生认为48×99＋48×1=48×（99＋1）不是乘法分配律时，教师有意放慢节奏，引发学生争论，碰撞出思维火花，在教师的引导下，最后达成共识：这是乘法分配律的逆运用，也可以用于计算简便。这样的补充举例，帮助学生打破了思维定式，掌握了乘法分配律的本质特征。

在所举的题例中，涉及了两个数相减与一个数相乘；两个以上的数的和与一个数相乘等形式，综合性强，思维含量高，既巩固了乘法分配律的基本形式，又让学生感知了乘法分配律可以使计算简便以及乘法分配律的拓展形式，把学生引入了更广阔的探索空间。正如美国著名数学家舍费尔德说：“求取解答并继续前进。”教师并不止步于乘法分配律的基本形式，而是通过变式举例，引领学生学“懂”、学“深”、学“活”，体验到数学知识的无穷魅力，培养了学生浓厚的数学学习兴趣，激发了学生探究新知的内在动力。

【课后感悟】

在教学片断中，有学生的模仿举例，通过观察比较，逐步形成清晰的表象；也有教师的变式举例，通过思考辨析，促进知识的内化。通过丰富多样、具体深刻的蕴含“乘法分配律”的很多实例，让学生亲历观察、比较、归纳、猜测、验证、辨析等探究的全过程，实现了由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。学生不仅主动获取了乘法分配律的知识，而且学习到了科学探究的方法，发展了数学思维，提升了数学素养。