潘红娟

【摘要】学生学习过程中的错误，应该是重要的教学资源。在“捕捉错误，分析错误，利用错误”这一基本错误观的基础上，本文以课例为载体，用例析的方式，从“怎样的错误信息是典型材料”“哪些维度分析错误成因”“如何多角度利用与转化”等视角，提出“重错误的预设与展开”“重错误的归因与分析”“重错误的多角度利用”等观点。

【关键词】小学数学 错误 分析 利用

教师作为学生学习的促进者，其教学决策是根据对学生的已有知识、思维水平的了解而展开的。因此，唯有读懂学生，才能有针对地实施教学，而关注并读懂学生的错误，应该是读懂学生的重要方面。

当前，“错误是重要的学习资源”“暴露错误、捕捉错误、分析错误、利用错误，促进有效教学”等理念已成为教师们的共识。那么，当“错误观”“资源观”已被大多教师接受并付诸行动的时候，还有什么是值得讨论的呢？笔者认为，如何精选材料呈现典型错误？如何进行错误的归因分析？如何实现错误资源的有效利用？从哪些视角进行错误利用？可能是可以进一步探讨的话题。

一、什么材料有利于呈现典型——重错误的预设与展开

学生呈现的错误往往是多姿百态、极具个性的，如何从大量信息中呈现最为典型的信息作为教学资源展开？怎样的错误直指知识内核？怎样的错误凸显核心目标？以“乘法运算定律的练习”一课作为例子阐述如下：

教师呈现下列材料与任务：

用你认为最好的方法计算下面各题：

（1）96×25 （2）39×99+99

（3）98+2×132 （4）56×720+28×560

教师搜集并呈现学生作业：

生1：96×25=（24×4）×25=24×25+4×25。

生2：39×99+99=39×100。

生3：98+2×132=100×132。

生4：56×720+28×560=40320+15680。

不难发现，这些错误，是学生学完“乘法运算定律”进行简算时出现的典型情况。题（1），将“96×25”分解为“（24×4）×25”后，形似的结构导致学生将“乘法结合律”与“乘法分类律”进行混淆。题（2），貌似“39×99+39”的题目类型导致学生惯性地转化为“39×100”。题（3），“凑整简算”的功利驱动，使学生忽视运算定律与运算顺序的正确运用。题（4），缺乏转化经验，不能灵活运用转化策略。我们来看，教师又是如何利用这些生成资源展开，关注“运算定律的再理解”“简算方法的再巩固”“简算策略的再体验”，从而凸显本节课的核心目标的呢？

反馈交流：

生1：不可以用乘法分配律，96×25=（24×4）×25应该等于24×（4×25）=2400，这是运用了乘法结合律。（24+4）×25才能等于24×25+4×25。

生2：39×99+99应该等于40×99，因为39个99加上1个99等于40个99。如果是39×99+39，才等于39×100。

生3：第（3）题，98+2×132不能简便计算，如果是98×132+2×132才等于100132。

师：这一题真的不能简便吗？

生：可以简便的，把98+2×132转化成100+2×131，计算就很方便了。

师：为什么可以这样算？

生1：把98看作100，多加了2，后面减少1个2，就变成了100+2×131。

生2：56×720+28×560其实可以转化成“560×72+28×560”，就等于“560×（72+28）=560×100”了。

生3：还可以转化成“56×720+56×280=56×（720+280）=56×1000”。

生4：还可以转化成28×580+28×1440。

师：这些方法，通过转化都可以用乘法分配律进行简便计算，但这些方法同样简便吗？

生：转化成“28×580+28×1440”比前两种方法容易错，如果有很多方法，一般我们选简单不容易错的方法。

随着错误的呈现，教师引导学生充分交流、评价分析，有效促进了“一题多目标”的巧妙实现。“乘法结合律和乘法分配律的概念辨析”“乘法分配律要关注相同因数”“计算时要突破思维定势”“加减法简便运算的综合运用”“运用转化使计算简便”“方法策略可以多样”“策略的最优选择”等目标随之实现。四道算式，能达成多元目标，其背后是有“的”放矢，精选错误材料，是最为关键的策略。有的放矢的前提是教师对学生学习心理、学习错误的研究。

二、为什么会有这样的错误——重错误的归因与分析

对待错误，进行有效归因分析，应该是我们了解错误原因、改进教学的前提。一般，归因分析可从教材、教师、学生三个维度进行。对教材的审视，可以从教材的难度、体系、跳跃性等方面进行审视；教师的教学反思，可以从教学理念、教学目标、教学方法、教学过程等方面进行思考；对学生学习的诊断，则可从学习基础、学习能力、学习习惯、学习心理等方面进行。

以五年级的小数除法为例，对下面题目进行作业情况统计与分析。

（1）7.8÷0.75

（2）①0.42÷3.5 ②0.35×0.16

（3）0.78+0.22÷5

1.以教材角度审视

题（1），7.8÷0.75，正确率仅为80.6%，较之于正确率基本在98%以上的其他小数乘除笔算，显然偏低。学生典型错解为“7.8÷0.75=1.4”。探究原因，教材编排缺失、缺少相应例题、巩固练习不够，应该是主要原因。这是一道商中间有0的除法。在人教版四年级教材中，没有出现“商中间有0”的除法。而在五年级教材中，仅有四道此类习题。教材编写可能出于减低难度、减少训练的考虑，但教材的跳跃，缺乏对商中间有0的除法的算理理解与算法巩固，致使基础知识与基本技能的掌握出现问题，这就需要教师在教学时做相应的补充与完善。

2.以教师角度反思

题（2），①0.42÷3.5 ②0.35×0.16，由于没有明确的简算提示，大多学生用笔算解决。经统计，①0.42÷3.5，仅1.2%的学生简算，方法为：0.42÷7÷0.5；题②0.35×0.16，仅1.5%的学生简算，方法为：0.35×2×0.08，（0.35×2）×（0.16÷2），0.07×（5×0.16），0.35×0.4×0.4。由此可见，运算能力中“自觉主动进行灵活计算的意识培养”仍然还是水中花、镜中月，值得关注。究其原因，是由于教师对计算教学的目标视野较为狭窄与单一，对“运算能力”这一核心概念的理解不深刻，以致日常教学中缺乏灵活计算的意识培养与策略积累。

3.以学生角度诊断

题（3），正确率为83.3%，学生的典型错误为：“0.78+0.22÷5=1÷5=0.2”“0.22÷5=0.44”。第（4）题，正确率为45.4%，典型错误是将算式转化为2012÷4=503。显然，一方面反映学生的审题习惯缺失，学生按照思维惯性、随意计算，导致计算错误。另一方面，也反映学生对于小数除法的计算方法理解不深，无法将计算原理与计算法则运用于较为复杂的计算情境中。小数除法计算方法的本质是“将除数是小数的除法转化成除数是整数”，此题可转化为2.012÷4，而学生面对此问题，已忽略了笔算除法的基本方法，从而出现随意转化或无从下手的情况。

三、怎样有效利用错误展开教学——重错误的多角度利用

错误搜集与整理的途径，一般可以通过作业、测查等进行统计分析，也可以在教学过程中随机观察捕捉。错误，根据其可预料性，可以分为预设性错误和生成性错误。如何运用这些资源，关注学生的困难，在难点处展开，从而达成核心目标，这就需要教师敏锐洞察、筛选捕捉、有效利用。

1.利用错误，掌握基本方法

基本知识、基本技能的探索阶段，我们一般会让学生进行尝试探究，此时，学生根据已有的知识经验，必然会有试误的过程，这就需要教师及时组织学生进行比较、评价、交流，实现对基本方法的理解与掌握。

五年级上册根据实际需要用“进一法”和“去尾法”取商的近似值一课，例题是：小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶最多可装0.4kg，需要准备几个瓶？

教学中，教师采用的基本策略是：经历“利用经验尝试解决问题——搜集捕捉学生资源——有序呈现充分讨论”的过程。引导学生分析问题、尝试解决，出现以下方法：

生1：2.5÷0.4=6（个）……0.1（千克），需要6个。

生2：2.5÷0.4=6.25≈6（个），四舍五入，需要6个。

生3：2.5÷0.4=6.25（个），瓶子要整数个， 6+1=7（个）。

生4：2.5÷0.4=6……0.25（个），还有0.25个没法放，6+1=7（个）。

生5：2.5÷0.4=6.25≈7（个）。

教师将学生解决的思路一一呈现，通过集体交流讨论，充分肯定合理的成分，最后优化得出一般的方法，即商用小数表示，用“进一法”求近似值。这一过程中，教师搜集了最为丰富的生成性资源，呈现不同的思维成果，最终帮助学生形成基本方法。

2.利用错误，凸显本质特征

一般我们会采用概念辨析的方法，帮助学生理解概念的本质，如何运用错误，凸显概念内涵，拓宽概念外延？也是值得我们思考的。

例如，“长方体正方体的体积练习课”中，“柱体”概念的建立完善教学。

首先，教师由长方体体积公式复习，引出柱体体积公式。

师：这是一个长方形和正方形，将它们分别向前、向后平移4cm，得到什么图形？请求出它们的体积。

师：体积=长×宽×高，同样的一个算式，还可以怎理解？（底面积×高），这样的图形也可以叫作柱体。

师：除了“6×4表示底面积，5表示高”外，其他面可以作为底吗？高又是多少？正方体的体积，可以表示成“底面积×高”吗？底面积是多少？高是多少？

师：什么情况下，我们可以用“底面积×高”来计算体积？

出示：

师：这是柱体吗？请求出它的体积，只列式不计算。

根据学生作业情况呈现两种方法：

生1：（6+4）×3÷2×10。

生2：6×10×3。

师：把下面的长方形“6×10”看作底面，“3”作为它的高，可以吗？

生1：不可以，柱体底面应该是指每个面都相等的面，如果将底面向上平移应该每个面都一样。如果将“6×10”这个面往上平移，并没有和上底面重合。

生2：柱体的高应该处处相等，只有将侧面的梯形看作底面，高都是10。

师根据学生回答随机课件演示：

这一片段中，教师及时捕捉“6×10×3”这一错误资源，进行放大处理，运用概念辨析、直观演示，很好揭示了柱体“上下底面相等”“与底面平行的任何一个截面都相等”“高处处相等”等特征。

3.利用错误，形成反思意识

错误才有反思的价值，如何运用学生错误，帮助学生在巩固技能的同时，形成及时反思、回顾检验的意识与习惯，体验反思检验的多样方法呢？

例如：“小数乘除法练习课”一课。

竖式计算：0.75×0.15，380×2.6，

4.872÷0.24。

教师随机选择学生作业，重点反馈：

（1）0.75×0.15=11.23；（2）380×2.6=98.8；（3）4.872÷0.24=2.03。

师：这些同学的计算正确吗？有什么办法判断是错误的？这样的方法你能找到多少种？

生1：可以从小数位数看，0.75×0.15是四位小数，而这个同学的结果是两位小数。

生2：末尾应该是5，而不应该是3，所以这个结果一定是错的。

生3：因数乘以一个比1小的数，结果一定比这个因数小，0.75×0.15<0.75，11.23比0.75大了，结果一定错了。

师：用同样的方法能判断第2题吗？

生4：380×2.6=98.8，还可以用估算的方法判断，380乘以2点多，积最少应该有760多，而这个结果是98.8，一定不对。

生5：a×b（b>1），积>a。380×2.6=98.8，结果比380小了。

生6：4.872÷0.24=2.03，这一题可以用乘法检验，2.03×0.24≠4.872，因为2.03×0.24的结果比2.03小，不可能等于4.872。

生7：同样可以估算，4.872÷0.24=487.2÷24，大约等于20多。

师：是的，我们在算出结果后，一般要进行回顾检验，刚才同学们用到了很多方法，都可以作为今后进行检验的策略。

这一片段中，错误资源巧妙地转化为“反思意识渗透”“检验方法落实”的载体。错误处理片段中，“根据位数判断”“根据尾数检验”“根据积与因数的大小关系”“运用估算检验”“互逆验算”等方法在错误评价中得以有效渗透与落实。

4.利用错误，体会数学思想

学生生成资源的智慧运用，对易错易混知识的澄清、概念本质的理解、方法技能的落实等，都能起到积极的作用。同样，利用生成材料，将错误提升为更高层面的解决策略，在体会数学思想方法方面也会起到意想不到的效果。

例如：“三角形的面积练习”一课。

材料：点E、F、G、H分别在长方形ABCD的四条边上，求四边形EFGH的面积。（单位：cm）

1.任务：选择条件，想办法求出四边形EFGH的面积。

2.学生尝试，教师巡视，选择典型，方法讨论。

生1：用总面积减去空白部分四个小三角形的面积。

生2：连接EG，分别求出两个三角形EFG和EGH的面积，这两个三角形底都是4cm，所以面积是（3+7）×4÷2=20cm2。

生3：也可以连接FG，上下两个三角形，EFH的面积加上FGH的面积也是可以的。

生4：这是错的，这两个三角形的底和高都不知道，没办法求的。

师抓住这种方法，引导提问：这个同学想要将上下两个三角形的面积加起来，想法很好，有办法使它们面积不变，但可以相加吗？

此时，教室里十分安静，突然，有学生举手。

生5：如果将H点往下移动一点，使FH和AD平行，那么，这两个三角形的底都是10，高都是2，就能求出面积了。

师：这个同学想到运用转化，将EGH转化为面积相等的三角形EGH′，就可以解决了（如图1）。为什么可以这样？

生5：因为EGH和EGH′底都是EG，而且平行线之间的距离相等高就相等，面积就一定相等。

生6：如果可以移动的话，把F、H分别移动到最下面，和B点、C点重合，就可以把原来的四边形EFGH转化成一个三角形EBC。这个三角形的底是10cm，高是4cm，面积是10×4÷2=20cm2，如图2。

这一片段中，“上下两个三角形EFH加上FHG的面积”这一错误方法，成为教师激活“等积变形”“转化思想”的有利时机，促发了“让静止的图形动起来”的策略意识，学生不仅感受了“转化”的作用，并很好积累了运用转化解决问题的经验。这个片段中，无疑，错误的捕捉与转化是极为巧妙而高明的。

【参考文献】

[1]任景业著.分享孩子的智慧——改进教学的建议，东北师范大学出版社.2014.6

[2]蔡金法、许世红.教师读懂学生什么：认知导向的教学，小学教学.2013年18期